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La valeur moyenne de $r,$ en plus ou en moins, est, par le n^o 20,

$\pm {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int {\text{ϐ}}rdrc^{-{\text{ϐ}}^{2}r^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r$ infini. En la multipliant par ${\frac {a}{\sqrt {n}}},$ on aura l’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, lorsqu’on prend pour durée moyenne de la vie la somme des âges qu’ont vécu les $n$ enfants considérés ci-dessus, divisée par $n,$ quotient que nous désignerons par $\mathrm {G} \,;$ cette erreur est donc

$\pm {\frac {a}{2{\text{ϐ}}{\sqrt {n\pi }}}}.$

On a, à très peu près,

$a^{2}k'=\mathrm {G} ,$

et, comme $ak=1,$ on aura

${\frac {k'}{k}}={\frac {\mathrm {G} }{a}}.$

Si l’on nomme ensuite $\mathrm {H}$ la somme des carrés des âges qu’ont vécu les $n$ enfants, divisée par $n,$ on trouvera, par l’analyse du n^o 19,

${\frac {k''}{k}}a^{2}=\mathrm {H} \,;$

ces valeurs donnent

${\text{ϐ}}^{2}={\frac {a^{2}}{2\left(\mathrm {H-G^{2}} \right)}}\,;$

l’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur la durée de la vie devient ainsi

$\pm {\frac {\sqrt {\mathrm {H-G^{2}} }}{\sqrt {2n\pi }}}.$

Il est clair que ces résultats ont également lieu relativement à la durée moyenne de ce qui reste à vivre, lorsque, au lieu de partir de l’époque de la naissance, on part d’une époque quelconque de la vie.

On peut facilement déterminer, au moyen des Tables de mortalité, formées d’année en année, la durée moyenne de ce qui reste à vivre à