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plus grand de ces termes que nous désignerons par $k.$ Le terme antérieur sera ${\frac {kp}{1-p}}{\frac {x'}{x+1}},$ et le terme suivant sera $k{\frac {1-p}{p}}{\frac {x'}{x+1}}.$ Pour que $k$ soit le plus grand terme, il faut que l’on ait

${\frac {x'}{x+1}}<{\frac {p}{1-p}}<{\frac {x+1}{x'}}\,;$

il est facile d’en conclure que, si l’on fait $x+x'=n,$ on aura

$(n+1)p-1<x<(n+1)p\,;$

ainsi $x$ est le plus grand nombre entier compris dans $(n+1)p\,;$ en faisant donc

$x=(n+1)p-s,$

ce qui donne

$p={\frac {x+s}{n+1}},\qquad 1-p={\frac {x'+1-s}{n+1}},\qquad {\frac {p}{1-p}}={\frac {x+s}{x'+1-s}},$

$s$ sera moindre que l’unité. Si $x$ et $x'$ sont de très grands nombres, on aura, à très peu près,

${\frac {p}{1-p}}={\frac {x}{x'}},$

c’est-à-dire que les exposants de $p$ et de $1-p$ dans le plus grand terme du binôme sont à fort peu près dans le rapport de ces quantités ; en sorte que, de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un très grand nombre $n$ de coups, la plus probable est celle dans laquelle chaque événement est répété proportionnellement à sa probabilité.

Le terme $l$^ième, après le plus grand, est

${\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots (x-l).1.2.3\ldots (x'+l)}}p^{x-l}(1-p)^{x'-l}.$

On a, par le n^o 33 du Livre I^er,

$1.2.3\ldots n=n^{n+{\frac {1}{2}}}c^{-n}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12n}}+\ldots \right),$