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Ces équations donnent $a$ et $n$ en fonctions de $h\pm r{\sqrt {n}}.$ Supposons

$n=i\psi \left({\frac {h\pm r{\sqrt {n}}}{i}}\right),\qquad a=\Gamma \left({\frac {h\pm r{\sqrt {n}}}{i}}\right)\,;$

on aura, en réduisant en série,

$n=i\psi \left({\frac {h}{i}}\right)\pm ir{\sqrt {n}}{\frac {d\psi \left({\cfrac {h}{i}}\right)}{dh}}+\ldots \,;$

on substituera dans $k',$ au lieu de $n$ et de $a,\ i\psi \left({\frac {h}{i}}\right)$ et $\Gamma \left({\frac {h}{i}}\right)\,:$ l’intégrale $(\varepsilon ''')$ est alors la probabilité que le nombre $n$ des parties est compris dans les limites

$i\psi \left({\frac {h}{i}}\right)\pm ir{\sqrt {i\psi \left({\frac {h}{i}}\right)}}{\frac {d\psi \left({\cfrac {h}{i}}\right)}{dh}}.$

28. C’est principalement aux naissances que l’analyse précédente est applicable, et l’on peut en déduire, non seulement pour l’espèce humaine, mais pour toutes les espèces d’êtres organisés, des résultats intéressants. Jusqu’ici les observations de ce genre n’ont été faites en grand nombre que sur l’espèce humaine ; nous allons soumettre au calcul les principales.

Considérons d’abord les naissances observées à Paris, à Londres et dans le royaume de Naples. Dans l’espace des quarante années écoulées depuis le commencement de 1745, époque où l’on a commencé à distinguer à Paris, sur les registres, les naissances des deux sexes, jusqu’à la fin de 1784, on a baptisé dans cette capitale $393386$ garçons et $377555$ filles, les enfants trouvés étant compris dans ce nombre : cela donne à peu près ${\frac {25}{24}}$ pour le rapport des baptêmes des garçons à ceux des filles.

Dans l’espace des quatre-vingt-quinze années écoulées depuis le commencement de 1664 jusqu’à la fin de 1758, il est né à Londres $737629$ garçons et $698958$ filles, ce qui donne ${\frac {19}{18}}$ à peu près, pour le rapport des naissances des garçons à celles des filles.

Enfin, dans l’espace des neuf années écoulées, depuis le commence-