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joueurs, au moment où le jeu commence ; car cette probabilité devient, après le premier coup, $y_{0,x}$ ou $y_{n,x}$ suivant que le joueur gagne ou perd, et la probabilité de chacun de ces événements est ${\frac {1}{2}}.$

Maintenant, la fonction génératrice de l’équation (1) est, par le n^o 20 du Livre I^er,

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\varphi (t)}{1-tt'+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}}},$

$t$ étant relatif à la variable $x$, et $t'$ étant relatif à la variable $r$, en sorte que $y_{r,x}$ est le coefficient de $t'^{r}t^{x}$ dans le développement de cette fonction ; $\varphi (t)$ est une fonction de $t$ qu’il s’agit de déterminer.

Pour cela, nous ferons

$\mathrm {T} ={\frac {1}{1+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}}}\,;$

la fonction génératrice de $y_{r,x}$ sera le coefficient de $t'^{r}$ dans le développement de la fonction $(a)\,;$ elle sera donc

$\varphi (t)t^{r}\mathrm {T} ^{r+1}.$

La probabilité que la partie finira précisément au coup $x$ est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup ; elle est donc

$2{\overline {y}}_{0,x}+y_{1,x}+y_{2,x}+\ldots +y_{n-1,x}\,;$

par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est

$\mathrm {T} \varphi (t)\left(2+t\mathrm {T} +t^{2}\mathrm {T} ^{2}+\ldots +t^{n-1}\mathrm {T} ^{n-1}\right)$

ou

$\mathrm {T} \varphi (t){\frac {2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}}{1-t\mathrm {T} }}.$

En l’égalant à la fonction génératrice de cette probabilité, que nous avons trouvée ci-dessus et qui est

${\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)}{1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}}},$