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pour la probabilité de $\theta '\,;$ le produit

${\frac {d\theta d\theta '}{\pi }}{\sqrt {\frac {(p+q)^{3}(p'+q')^{3}}{4pqp'q'}}}c^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}\theta ^{2}-{\frac {(p'+q')^{3}}{2p'q'}}\theta '^{2}}$

de ces deux probabilités sera donc la probabilité de l’existence simultanée de $\theta$ et de $\theta '.$ Faisons

${\frac {p'}{p'+q'}}+\theta '={\frac {p}{p+q}}+\theta +t\,;$

la fonction différentielle précédente devient

${\frac {d\theta dt}{\pi }}{\sqrt {\frac {(p+q)^{3}(p'+q')^{3}}{4pqp'q'}}}c^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}\theta ^{2}-{\frac {(p'+q')^{3}}{2p'q'}}\left[\theta +t-{\frac {p'q-pq'}{(p+q)(p'+q')}}\right]^{2}}.$

En l’intégrant pour toutes les valeurs possibles de $\theta$ et ensuite pour toutes les valeurs positives de $t,$ on aura la probabilité que la possibilité des baptêmes des garçons est plus grande à Londres qu’à Paris. Les valeurs de $\theta$ peuvent s’étendre depuis $\theta$ égal à $-{\frac {p}{p+q}}$ jusqu’à $\theta$ égal à $1-{\frac {p}{p+q}}\,:$ mais, lorsque $p$ et $q$ sont de très grands nombres, le facteur $c^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}\theta ^{2}}$ est si petit à ces deux limites qu’on peut le regarder comme nul ; on peut donc étendre l’intégrale relative à $\theta ,$ depuis $\theta =-\infty$ jusqu’à $\theta =\infty .$ On voit, par la même raison, que l’intégrale relative à $t$ peut être étendue depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty .$ En suivant le procédé du n^o 27 pour ces intégrations multiples, on trouvera facilement que, si l’on fait

${\begin{aligned}k^{2}=&{\frac {(p+q)^{3}(p'+q')^{3}}{2p'q'(p+q)^{3}+2pq(p'+q')^{3}}},\\h\ =&{\frac {p'q-pq'}{(p+q)(p'+q')}},\\\theta \ \ +&{\frac {2pqk^{2}}{(p+q)^{3}}}(t-h)=t',\end{aligned}}$

ce qui donne $d\theta =dt',$ la différentielle précédente, intégrée d’abord par