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LIVRE PREMIER.

la formule (B) du numéro précédent deviendra

$\int ydx=$

${\begin{aligned}&2k\quad \ \ \mathrm {Y} \left\{\mathrm {U} +{\frac {1}{2i}}{\frac {d^{2i}\mathrm {U} ^{2i+1}}{1.2.3\ldots 2idx^{2i}}}+{\frac {2i+1}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i}\mathrm {U} ^{4i+1}}{1.2.3\ldots 4idx^{4i}}}+\ldots \right\}\\\\+&2k^{(1)}\mathrm {Y} \ \ \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}&+{\frac {3}{2i}}{\frac {d^{2i+2}\mathrm {U} ^{2i+2}}{1.2.3\ldots (2i+2)dx^{2i+3}}}\\&+{\frac {3(2i+3)}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i+2}\mathrm {U} ^{4i+3}}{1.2.3\ldots (4i+2)dx^{4i+2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&2k^{(i-1)}\mathrm {Y} \left\{{\begin{aligned}&{\frac {d^{2i-2}\mathrm {U} ^{2i-1}}{1.2.3(2i-2)dx^{2i-2}}}+{\frac {2i-1}{2i}}{\frac {d^{4i-2}\mathrm {U} ^{4i-1}}{1.2.3\ldots (4i-2)dx^{4i-2}}}\\&+{\frac {(2i-1)(4i-1)}{4i^{2}}}{\frac {d^{6i-2}\mathrm {U} ^{6i-1}}{1.2.3\ldots (6i-2)dx^{6i-2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.\\\end{aligned}}$

Cette formule est la somme d’un nombre $i$ de suites différentes, décroissantes comme les puissances de $\alpha ,$ puisque $\mathrm {U}$ est de l’ordre $\alpha ^{\frac {1}{2i}},$ et multipliées respectivement par les transcendantes $k,k{(1)},\ldots ,$ qu’il est, par conséquent, important de connaître ; mais il suffit pour cela d’en connaître un nombre égal au plus grand nombre entier compris dans ${\frac {i}{2}}.$

Considérons pour cela la double intégrale

$\iint dsdxc^{-s\left(1+x^{n}\right)},$

les intégrales étant prises depuis $s$ et $x\,;$ nuls jusqu’à leurs valeurs infinies. En l’intégrant d’abord par rapport à $s,$ elle se réduit à

$\int {\frac {dx}{1+x^{n}}}\,;$

mais cette dernière intégrale est ${\frac {\pi }{n\sin {\frac {\pi }{n}}}},\ n$ étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire ; on a donc

$\iint dsdxc^{-s\left(1+x^{n}\right)}={\frac {\pi }{n\sin {\frac {\pi }{n}}}}.$

Intégrons maintenant cette double intégrale, d’abord par rapport à $x$.