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grands géomètres du xvii^e siècle^[1], et en quelque sorte le premier de ce genre soumis à des méthodes analytiques, on sera peut-être curieux de voir comment ce même problème se déduit encore, comme corollaire, d’une autre question de probabilité, dont la solution offrira d’ailleurs une nouvelle application de la méthode des fonctions génératrices.

On tire successivement d’une urne, qui contient une quantité déterminée de boules blanches et noires, une boule que l’on ne remet point après le coup, et l’on demande, après un certain nombre de tirages connus, quelle est la probabilité de compléter la sortie de tel nombre donné de boules blanches avant celle de tel autre nombre, également donné, de boules noires.

Soient $a$ et $a'$ les nombres de boules blanches et noires contenues primitivement dans l’urne, $n$ le nombre de boules blanches que l’on se propose d’atteindre avant d’avoir extrait un autre nombre $n'$ de boules noires ; et supposons qu’après avoir tiré successivement de l’urne une boule sans la remettre, on ait amené $n-x$ boules blanches et $n'-x'$ boules noires, $x$ et $x'$ étant alors les nombres de boules blanches et noires qu’il reste à faire sortir pour décider la question. Représentons par $y_{x,x'}$ la probabilité d’amener dans les tirages suivants $x$ boules blanches avant $x'$ boules noires, ou d’atteindre la totalité des $n$ boules blanches avant d’avoir extrait $n'$ noires ; on aura, d’après les règles connues des probabilités, l’équation

$y_{x,x'}={\frac {a-n+x}{a+a'-n-n'+x+x'}}y_{x-1,x'}+{\frac {a'-n'+x'}{a+a'-n-n'+x+x'}}y_{x,x'-1}.$

Faisons

$a-n+x=s,\qquad a'-n'+x'=s'\quad$et$\quad y_{x,x'}=u_{s,s'}\,;$

l’équation précédente devient

$u_{s,s'}={\frac {s}{s+s'}}u_{s-1,s'}+{\frac {s'}{s+s'}}u_{s,s'-1},$

1. Pascal et Fermat,