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On a, par ce qui précède, x=np+z,/ z étant un nombre plus petit que l’unité ; on a donc

${\frac {x+l}{n}}-p={\frac {l+z}{n}}={\frac {t{\sqrt {2xx'}}}{n{\sqrt {n}}}}+{\frac {z}{n}}\,;$

ainsi la formule $(o)$ exprime la probabilité que la différence entre le rapport du nombre de fois que l’événement a doit arriver au nombre total des coups, et la facilité $p$ de cet événement, est comprise dans les limites

$(l)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \pm {\frac {t{\sqrt {2xx'}}}{n{\sqrt {n}}}}+{\frac {z}{n}}.$

${\sqrt {2xx'}}$ étant égal à

$n{\sqrt {2p(1-p)+{\frac {2z}{n}}(1-2p)-{\frac {2z^{2}}{n^{2}}}}},$

on voit que l’intervalle compris entre les limites précédentes est de l’ordre ${\frac {1}{\sqrt {n}}}.$

Si la limite de $t,$ que nous désignerons par $\mathrm {T} ,$ est supposée invariable, la probabilité déterminée par la fonction $(o)$ reste la même à très peu près ; mais l’intervalle compris entre les limites $(l)$ diminue sans cesse à mesure que les coups se répètent, et il devient nul, lorsque leur nombre est infini.

Cet intervalle étant supposé invariable, lorsque les événements se multiplient, $\mathrm {T}$ croît sans cesse, et à fort peu près comme la racine carrée du nombre des coups. Mais, lorsque $\mathrm {T}$ est considérable, la formule $(o)$ devient, par le n^o 27 du Livre I^er,

$1-{\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2\mathrm {T} {\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {2q}{1+{\cfrac {3q}{1+\ldots }}}}}}}}+{\cfrac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{\sqrt {2n\pi \left[p(1-p)+{\cfrac {z}{n}}(1-2p)-{\cfrac {z^{2}}{n^{2}}}\right]}}},$

$q$ étant égal à ${\frac {1}{2\mathrm {T} ^{2}}}.$ Lorsqu’on fait croître $\mathrm {T} ,\ c^{-\mathrm {T} ^{2}}$ diminue avec une ex-