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La règle des milieux arithmétiques donne

$a={\frac {s-i}{s}}q\,;$

l’équation précédente devient ainsi

$\psi \left[({\frac {s-i}{s}})^{2}q^{2}\right]=\psi '\left({\frac {i^{2}}{s^{2}}}q^{2}\right).$

Cette équation devant avoir lieu quels que soient ${\frac {i}{s}}$ et $q,$ il est nécessaire que $\psi '(t)$ soit indépendant de $t,$ ce qui donne

$\psi '(t)=k,$

$k$ étant une constante. En intégrant, on a

$\psi (t)=kt-\mathrm {L} ,$

$\mathrm {L}$ étant une constante arbitraire ; partant,

$c^{-\psi (x^{2})}=c^{\mathrm {L} -kx^{2})}.$

Telle est donc la fonction qui peut seule donner généralement la règle des milieux arithmétiques. La constante $\mathrm {L}$ doit être déterminée de manière que l’intégrale $\int dxc^{\mathrm {L} -kx^{2})},$ prise depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=\infty ,$ soit égale à l’unité ; car il est certain que l’erreur $x$ d’une observation doit tomber dans ces limites ; on a donc

$c^{\mathrm {L} }={\sqrt {\frac {k}{\pi }}}\,;$

par conséquent la probabilité de l’erreur $x$ est ${\frac {k}{\pi }}c^{-kx^{2})}.$

À la vérité, cette expression donne l’infini pour la limite des erreurs, ce qui n’est pas admissible ; mais, vu la rapidité avec laquelle ce genre d’exponentielles diminue à mesure que $x$ augmente, on peut prendre $k$ assez grand pour qu’au delà de la limite admissible des erreurs leurs probabilités soient insensibles et puissent être supposées nulles.