cient de 
ou
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {(x-1)}{1}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)+{\frac {(x-1)(x-2)}{1.2}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{2}+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r)}{1.2\ldots r}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{r}\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-1)}{1.2\ldots (r+1)}}{\frac {p^{'r+1}}{q^{'r+1}}}\\&\times \left[1+{\frac {(r+1)}{1}}{\frac {p'_{1}}{p'}}+{\frac {(r+1)r}{1.2}}{\frac {p_{1}^{'2}}{p'^{2}}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 2}{1.2\ldots r}}{\frac {p_{1}^{'r}}{p^{'r}}}\right]\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-2)}{1.2\ldots (r+2)}}{\frac {p^{'r+2}}{q^{'r+2}}}\\&\times \left[1+{\frac {(r+2)}{1}}{\frac {p'_{1}}{p'}}+\ldots +{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 4}{1.2\ldots (r+1)}}{\frac {p_{1}^{'r-1}}{p^{'r-1}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-2r-1)}{1.2\ldots (2r+1)}}{\frac {p^{'2r+1}}{q^{'2r+1}}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d09b92e0ef2d1da1a4be3f1bf2963fc9e2bb6b79)
et, dans le cas de 
impair ou égal à 
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&1+\left({\frac {x-1}{1}}\right)\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)+{\frac {(x-1)(x-2)}{1.2}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{2}+\ldots \\&\qquad \qquad +{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r)}{1.2\ldots r}}\left({\frac {p'+p'_{1}}{q'}}\right)^{r}\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-1)}{1.2\ldots (r+1)}}{\frac {p^{'r+1}}{q^{'r+1}}}\\&\times \left[1+\left({\frac {r+1}{1}}\right){\frac {p'_{1}}{p'}}+{\frac {(r+1)r}{1.2}}{\frac {p_{1}^{'2}}{p'^{2}}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 3}{1.2\ldots (r-1)}}{\frac {p_{1}^{'r-1}}{p^{'r-1}}}\right]\\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-r-2)}{1.2\ldots (r+2)}}{\frac {p^{'r+2}}{q^{'r+2}}}\\&\times \left[1+{\frac {(r+2)}{1}}{\frac {p'_{1}}{p'}}+\ldots +{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 5}{1.2\ldots (r-2)}}{\frac {p_{1}^{'r-2}}{p^{'r-2}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-2r)}{1.2\ldots (2r)}}{\frac {p^{'2r}}{q^{'2r}}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d9c80e0b2fd14012994666f057ecbf2173af90)
Il est visible que le joueur 
ne peut espérer de gagner qu’au tant que 
est plus grand que 
soit que égale 
ou 
et effectivement, hors de cette supposition, les valeurs précédentes de 
deviennent toutes égales à l’unité.
Nous ferons aussi remarquer que le joueur 
a nécessairement gagné la partie lorsque le joueur aura tiré 
boules noires avant d’avoir atteint points ; mais ce dernier joueur peut encore avoir perdu avant d’avoir amené la totalité de ce nombre de boules noires, ce qui fait que cette question n’est point susceptible de rentrer dans celle qui est traitée dans la Théorie analytique, à la suite du problème des partis, comme précédemment une supposition semblable nous a conduits à ce dernier problème.
3. Le problème des partis ayant été l’objet des recherches de deux
