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à l’équation correspondante que donnerait $d\mathrm {H} =0,$ en y faisant varier $g^{(i)}.$ On voit encore que les mêmes valeurs de $f^{(i)}$ et de $g^{(i)}$ satisfont aux équations semblables qui résultent de la considération de l’élément $y.$

Si l’on a, entre les éléments $x,y,z,\ldots ,$ des équations de condition représentées par l’équation générale

$l^{(i)}x+p^{(i)}y+q^{(i)}z+\ldots =a^{(i)}+m^{(i)}\gamma ^{(i)}+n^{(i)}\lambda ^{(i)}+r^{(i)}\delta ^{(i)}+\ldots ,$

$\gamma ^{(i)},\lambda ^{(i)},\delta ^{(i)},\ldots$ étant des erreurs de divers genres, on trouvera par l’analyse précédente que les facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement cette équation, pour former les équations finales qui donnent les valeurs des éléments les plus avantageuses, sont, pour la première équation finale, représentés par

${\frac {l^{(i)}}{{\cfrac {k''}{k}}m^{(i)2}+{\cfrac {{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}n^{(i)2}+{\cfrac {{\overline {\overline {k}}}\,''}{\overline {\overline {k}}}}r^{(i)2}+\ldots }}.$

Ils sont représentés, pour la seconde équation finale, par

${\frac {p^{(i)}}{{\cfrac {k''}{k}}m^{(i)2}+{\cfrac {{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}n^{(i)2}+{\cfrac {{\overline {\overline {k}}}\,''}{\overline {\overline {k}}}}r^{(i)2}+\ldots }},$

et ainsi de suite. En appliquant donc aux équations ainsi multipliées l’analyse du n^o 2 du premier Supplément, on aura les valeurs des éléments les plus avantageuses et les lois de probabilités de leurs erreurs.

Pour donner un exemple de cette application, ne considérons que deux éléments $x$ et $y.$ Si l’on fait

$\mathrm {M} ^{(i)}={\frac {k''}{k}}m^{(i)2}+{\frac {{\overline {k}}\,''}{\overline {k}}}n^{(i)2}+{\frac {{\overline {\overline {k}}}\,''}{\overline {\overline {k}}}}r^{(i)2}+\ldots .$