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la considération des passages du réel à l’imaginaire, passages que l’analyse précédente confirme.

III.

La formule $(p)$ du n^o 42 du Livre I^er est fort remarquable : elle peut se démontrer de la manière suivante, qui montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences doit être arrêtée, lorsque la quantité sous l’exposant de la puissance devient négative.

Considérons l’intégrale

$\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\cos \left(zx-{\frac {m\pi }{2n}}\right)\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n},$

et donnons-lui cette forme

$\cos {\frac {m\pi }{2n}}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\cos zx\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n}+\sin {\frac {m\pi }{2n}}\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx\sin zx\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{n},$

les intégrales étant prises depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. Supposons d’abord $n$ pair et égal à $2i\,;$ on aura, par les formules connues,

$\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2i}=$

${\frac {(-1)^{i}}{2^{2i-1}x^{2i}}}\left\{{\begin{aligned}&\cos nx-\cos(n-2)x+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\cos(n-4)x-\ldots \\&\pm {\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}\end{aligned}}\right\}$

le signe $+$ ayant lieu, si $i$ est pair, et le signe $-,$ si $i$ est impair. En multipliant cette équation par $\cos zx,$ on aura

$\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2i}\cos zx=$

${\frac {(-1)^{i}}{2^{2i}x^{2i}}}\left\{{\begin{aligned}&\cos(n\pm z)x-n\cos(n-2\pm z)x\pm \ldots \\&\pm {\frac {1}{2}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-i+1)}{1.2.3\ldots i}}\cos \left({\frac {1}{2}}zx\right)\end{aligned}}\right\}$

où l’on doit observer que, par $\cos(n-2r\pm z)x,$ je comprends la somme des cosinus $cos(n-2r+z)x$ et $cos(n-2r-z)x,\ 2r$ étant ici au plus égal à $n$ ou $2i.$ Multiplions le second membre de cette