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En rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura

$z_{x}={\frac {1}{2}}z_{x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}z_{x-2}+{\frac {1}{2^{3}}}z_{x-3}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}z_{x-n+1}.$

La fonction génératrice de $z_{x}$ est, par le Livre I^er,

${\frac {\psi (t)}{1-{\cfrac {1}{2}}t-{\cfrac {1}{2^{2}}}t^{2}-\ldots -{\cfrac {1}{2^{n-1}}}t^{n-1}}}$

ou

${\frac {{\cfrac {1}{2}}\psi (t)(2-t)}{1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}}}.$

Pour déterminer $\psi (t),$ nous observerons que la partie ne peut finir au plus tôt qu’au coup $n,$ et que la probabilité pour cela est ${\frac {1}{2^{n-1}}}\,;$ car il faut que le vainqueur au premier coup gagne les $n-1$ coups suivants ; $\psi (t)$ ne doit donc renfermer que la puissance $n$ de $t,$ et ${\frac {1}{2^{n-1}}}$ doit être le coefficient de cette puissance, ce qui donne $\psi (t)={\frac {t^{n}}{2^{n-1}}}\,;$ ainsi la fonction génératrice de $z_{x}$ est

${\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)}{1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}}}.$

La somme des coefficients des puissances de $t$ jusqu’à l’infini, dans le développement de cette fonction, est la probabilité que la partie doit finir après une infinité de coups ; or on a cette somme en faisant $t=1$ dans la fonction, ce qui la réduit à l’unité ; il est donc certain que la partie doit finir.

On aura la probabilité que la partie sera finie au coup $x$ ou avant ce coup, en déterminant le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fonction précédente, divisée par $1-t\,;$ la fonction génératrice de cette probabilité est donc

${\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)}{(1-t)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}.$