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le signe $\mathrm {S}$ embrassant toutes les valeurs de $i,$ depuis $i$ nul jusqu’à $i=s-1.$ On fera disparaître la première puissance de $\varpi ,$ en faisant

$\mu '={\frac {k'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)},$

et si l’on ne considère que sa seconde puissance, ce que l’on peut faire par ce qui précède, lorsque $s$ est un très grand nombre, on aura, pour le logarithme de la fonction (2),

$-{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}\mathrm {S} q^{(i)2}(n+n')^{2}\varpi ^{2}.$

En repassant des logarithmes aux nombres, la fonction (2) se transforme dans la suivante

$c^{-{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}(n+n')^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} q^{(i)2}}\,;$

l’intégrale (1) devient ainsi

${\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}c^{-{\frac {kk''-k'^{2}}{2k^{2}}}(n+n')^{2}\varpi ^{2}\mathrm {S} q^{(i)2}}.$

Supposons

${\begin{aligned}l=&(n+n')r{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}},\\t=&{\sqrt {\frac {\left(kk''-k'^{2}\right)\mathrm {S} q^{(i)2}}{2k^{2}}}}(n+n')\varpi -{\frac {r{\sqrt {-1}}}{2}}{\sqrt {\frac {2k^{2}}{kk''-k'^{2}}}}.\end{aligned}}$

La variation de $l$ étant l’unité, on aura

$1=(n+n')dr{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}}\,;$

l’intégrale précédente devient ainsi, après l’avoir intégrée depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty ,$

${\frac {kdr}{\sqrt {2\left(kk''-k'^{2}\right)\pi }}}c^{-{\frac {k^{2}r^{2}}{2\left(kk''-k'^{2}\right)}}}.$

Ainsi la probabilité que la fonction $(m)$ sera comprise dans les limites

${\frac {ak'}{k}}\mathrm {S} q^{(i)}\pm ar{\sqrt {\mathrm {S} q^{(i)2}}},$