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LIVRE PREMIER.

En changeant $z$ dans $-z,$ on aura

$\int d\varpi (\cos \varpi -z)^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}}{2}}(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}\left[1-{\frac {\alpha (2+z)}{8}}+\ldots \right]\,;$

partant

$(b)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}y_{s}&={\frac {1}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{8}}+\ldots \right]\\&+{\frac {(-1)^{s}}{(1+z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}\left[1-{\frac {\alpha (2+z)}{8}}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}\right\}$

dans le cas de $s$ très grand, cette expression se réduit à fort peu près à ce terme très simple,

${\frac {1}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}.$

Si l’on multiplie l’expression $(b)$ de $y_{s}$ par le produit $1.2.3\ldots s,$ produit qui, par le n^o 33, est égal à

$s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {\alpha }{12}}+\ldots \right),$

on aura à très peu près

${\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}}={\frac {d^{s}{\cfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}{dz^{s}}}={\frac {s^{s}c^{-s}}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}}}.$

39. Lorsqu’une fonction $y_{s}$ de $s$ peut être exprimée par une intégrale définie de la forme $\int x^{s}\varphi dx,$ les différences infiniment petites et finies d’un ordre quelconque $n$ seront, par le n^o 21,

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{s}}{ds^{n}}}=&\int x^{s}\varphi dx(\log x)^{n},\\\Delta ^{n}y_{s}=&\int x^{s}\varphi dx(sx-1)^{n}.\end{aligned}}$

Si, au lieu d’exprimer la fonction de $s$ par l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,$ on l’exprime par l’intégrale $\int c^{-sx}\varphi dx,$ alors on a

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{s}}{ds^{n}}}=&(-1)^{n}\int x^{n}\varphi dxc^{-sx},\\\Delta ^{n}y_{s}=&\int \varphi dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}.\end{aligned}}$