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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

membre de cette équation ; la fonction

$-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}{\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {R} \theta ^{r+1}}}}{d\theta ^{s-1}}}$

est donc, avec cette condition, le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction ${\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}.$

Il suit de là que, si l’on suppose

$\mathrm {Q} =a(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s'}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots ,$

le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction $\mathrm {\frac {P}{Q}}$ sera

${\begin{aligned}&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}}{d\theta ^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha ')^{s'}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots }}\\&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s'-1)}}{\frac {d^{s'-1}}{d\theta ^{s'-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha '')^{s''}\ldots }}\\&-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s''-1)}}{\frac {d^{s''-1}}{d\theta ^{s''-1}}}{\frac {\mathrm {P} }{a\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s'}\ldots }}\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en faisant $\theta =\alpha$ dans le premier terme, $\theta =\alpha '$ dans le second terme, $\theta =\alpha ''$ dans le troisième terme, et ainsi de suite.

Maintenant, soit

$\mathrm {V} =a(\theta -\alpha )(\theta -\alpha ')(\theta -\alpha '')\ldots .$

En développant la fraction

${\frac {1}{\mathrm {V} -z\theta ^{n}}}$

dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $z,$ on aura

${\frac {1}{\mathrm {V} }}+{\frac {z\theta ^{n}}{\mathrm {V} ^{2}}}+{\frac {z^{2}\theta ^{2n}}{\mathrm {V} ^{3}}}+{\frac {z^{3}\theta ^{3n}}{\mathrm {V} ^{4}}}+\ldots \,;$

le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}}$ est, par ce