et il résulte de ce que nous venons de dire que le coefficient de
dans le développement de cette dernière quantité est égal à
![{\displaystyle {\frac {1}{3^{x}}}\left\{{\begin{aligned}t'&+{\frac {xt'^{2}(1+t')}{3}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}{\frac {t'^{3}(1+t')^{2}}{3^{2}}}\\&+{\frac {x(x+1)(x+2)}{1.2.3}}{\frac {t'^{4}(1+t')^{3}}{3^{3}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4015edd8249a32b545e341428936093be7c99a)
en rejetant du développement de cette série toutes les puissances de
supérieures à
et supposant dans ce que l’on conserve
ce sera l’expression de ![{\displaystyle y_{x,x'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747b455283ce21a9f05750c2289e0da82f279af6)
Il est facile de traduire ce procédé en formule. Ainsi, en supposant
pair et égal à
on trouve
![{\displaystyle y_{x,x'}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1bfc04426d36ce1945de8a83b0f885c57e8568)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{3^{x}}}\left[1+x{\tfrac {2}{3}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{2}+\ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+r-1)}{1.2.3\ldots r}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{r}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r)}{1.2.3\ldots (r+1)3^{x+r+1}}}\left[1+(r+1)+{\frac {(r+1)r}{1.2}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 2}{1.2.3\ldots r}}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r+1)}{1.2.3\ldots (r+2)3^{x+r+2}}}\left[1+(r+2)+{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 4}{1.2.3\ldots (r-1)}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+2r)}{1.2.3\ldots (2r+1)3^{x+2r+1}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec6fa69d17cfec6e59edb2dacb895c85c7bdc52)
Si l’on suppose
impair et égal à
on aura
![{\displaystyle y_{x,x'}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf1bfc04426d36ce1945de8a83b0f885c57e8568)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{3^{x}}}\left[1+x{\tfrac {2}{3}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{2}+\ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+r-1)}{1.2.3\ldots r}}\left({\tfrac {2}{3}}\right)^{r}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r)}{1.2.3\ldots (r+1)3^{x+r+1}}}\left[1+(r+1)+{\frac {(r+1)r}{1.2}}+\ldots +{\frac {(r+1)r\ldots 3}{1.2.3\ldots (r-1)}}\right]\\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+r+1)}{1.2.3\ldots (r+2)3^{x+r+2}}}\\&\qquad \qquad \qquad \times \left[1+(r+2)+{\frac {(r+2)(r+1)}{1.2}}+\ldots +{\frac {(r+2)(r+1)\ldots 5}{1.2.3\ldots (r-2)}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {x(x+1)\ldots (x+2r-1)}{1.2.3\ldots 2r3^{x+2r}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc9bca466c01e02909207d9f020a88de082f1ae)
Ainsi, dans le cas de
et
on a
![{\displaystyle y_{2,5}={\frac {350}{729}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469344a9ece8f9a18fdd961a4fb202c590acea2b)