donnée par la formule on aura, en vertu des théorèmes précédents, pour cette intégrale,
À l’origine où est nul, cette valeur est ainsi l’on aura au moyen du nombre des boules blanches que l’urne contient à cette origine.
On peut obtenir fort simplement, de la manière suivante, la valeur moyenne du nombre des boules blanches, après tirages. Imaginons que chaque boule blanche ait une valeur que nous représenterons par l’unité, les boules noires étant supposées n’avoir aucune valeur. Il est clair que le prix de l’urne sera la somme des produits de tous les nombres possibles de boules blanches qui peuvent exister dans l’urne, multipliés par leurs probabilités respectives ; ce prix est donc ce que nous avons nommé valeur moyenne du nombre des boules blanches. Nommons-le après le tirage ième. Au tirage suivant, s’il sort une boule blanche, ce prix diminue d’une unité ; or, si l’on suppose que est le nombre des boules blanches contenues dans l’urne après le tirage ième, la probabilité d’en extraire une boule blanche sera en nommant donc la probabilité de cette supposition, l’intégrale étendue depuis jusqu’à sera la diminution de résultante de la probabilité d’extraire une boule blanche de l’urne. Si l’on fait, comme ci-dessus, et si l’on désigne la fraction très petite par cette diminution sera égale à car est égal à somme des produits des nombres des boules blanches par leurs probabilités respectives. Le prix de l’urne s’accroît, si l’on extrait une boule blanche de l’urne pour la mettre dans l’urne ; or, étant supposé le nombre des boules blanches de l’urne sera celui des boules blanches de l’urne et la probabilité d’extraire une boule blanche de cette dernière urne sera en multipliant cette proba-
