on aura, après toutes les réductions, pour l’expression de 
![{\displaystyle \times \left[{\begin{aligned}&1+{\frac {x}{1}}{\frac {a'-n'+x'}{a+a'-n-n'+x'}}\\&+{\frac {x(x+1)}{1.2}}{\frac {(a'-n'+x')(a'-n'+x'-1)}{(a+a'-n-n'+x')(a+a'-n-n'+x'-1)}}+\\&\qquad \ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+x'-2)}{1.2\ldots (x'-1)}}\\&\qquad \qquad \times {\frac {(a'-n'+x')\ldots (a'-n'+2)}{(a+a'-n-n'+x')\ldots (a+a'-n-n'+2)}}\end{aligned}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2235dbcdc2246be34f6f9e137a2ee249c04fa0f)
Concevons actuellement 
et 
dans le rapport de 
à 
en sorte que l’on ait 
et 
et imaginons que 
devienne un très grand nombre ou l’infini ; il est clair que la probabilité de la sortie d’une boule blanche ou d’une noire dans les tirages successifs deviendra constante et sera 
pour une boule blanche et 
pour une noire, et la probabilité 
se réduira à cette expression
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x,x'}=\left({\frac {p}{p+q}}\right)^{x}&\left[1+{\frac {x}{1}}{\frac {q}{p+q}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}\left({\frac {q}{p+q}}\right)^{2}+\ldots \right.\\&\qquad \left.+{\frac {x(x+1)\ldots (x+x'-2)}{1.2\ldots (x'-1)}}\left({\frac {q}{p+q}}\right)^{x'-1}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b2f62b2ba3f1e08ae5d544d21b199e8942ad2b)
telle est la formule à laquelle conduit le problème des partis, et effectivement nous rentrons dans les conditions de ce problème par la supposition de infini.
Si l’on suppose 
égal à 
et 
égal à 
exprimera alors la probabilité de la sortie de toutes les boules blanches restantes dans l’urne avant que toutes les noires aient été épuisées, et son expression se changera en celle-ci
![{\displaystyle \times \left[1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x(x+1)}{1.2}}+\ldots +{\frac {x(x+1)\ldots (x+x'-2)}{1.2\ldots (x'-1)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6543c13d6d599e4cb48399fcf3cc527cc46e31)
laquelle se réduit elle-même à
La probabilité d’extraire de l’urne la totalité des boules blanches
