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Il faut rejeter de cette expression les termes dans lesquels la quantité élevée sous le signe des puissances est négative.

Supposons maintenant que, $z,z_{1},z_{2},\ldots$ représentant toujours les erreurs de $i-1$ observations, la loi de facilité, tant de l’erreur $z$ que de l’erreur négative $-z,$ soit ϐ$(h-z),$ et que $h$ et $-h$ soient les limites de ces erreurs. Supposons de plus que cette loi soit la même pour toutes les observations, et cherchons la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites $p$ et $p+e.$

Si l’on faits $z=t-h,\ z_{1}=t_{1}-h,\ldots ,$ il est clair que $t,t_{1},\ldots$ seront toujours positifs et pourront s’étendre depuis zéro jusqu’à $2h\,;$ mais ici la loi de facilité est discontinue en deux points. Depuis $t=0$ jusqu’à $t=h,s$ elle est exprimée par ϐ$t.$ Depuis $t=h$ jusqu’à $t=2h,$ elle est exprimée par ϐ$(2h-t)\,;$ enfin elle est nulle depuis $t=2h$ jusqu’à $t$ infini. On a donc

$q=h,\qquad q'=2h\,;$

on a ensuite

${\begin{aligned}\varphi (t)&={\text{ϐ}}t,\\\varphi '(t)&+\varphi (t)=(2h-t){\text{ϐ}},\\\varphi ''(t)&+\varphi '(t)+\varphi (t)=0,\end{aligned}}$

ce qui donne

$\varphi '(t)=(2h-2t){\text{ϐ}},\qquad \varphi ''(t)=(t-2h){\text{ϐ}}$

Ainsi l’on a dans ce cas

$\varphi (t)+l^{q}\varphi '(q+t)+l^{q'}\varphi ''(q'+t)={\text{ϐ}}t\left(1-l^{h}\right)^{2},$

équation qui a encore lieu en y changeant $t$ en $t_{1},t_{2},\ldots .$ Présentement on a

$z+z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{i-2}=t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{i-2}-(i-1)h\,;$

donc la somme des erreurs $z,z_{1},\ldots$ devant être, par hypothèse, renfermée dans les limites $p$ et $p+e,$ la somme des valeurs de $t,t_{1},\ldots ,$$t_{i-2}$ sera comprise dans les limites $(i-1)h+p$ et $(i-1)h+p+e\,;$ en sorte que, si l’on fait

$t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{i-2}s-t_{i-1},$