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LIVRE PREMIER.

partant

$\int ydx=\mathrm {UY} \left(1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{d\theta ^{2}}}+{\frac {d.\mathrm {U} d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{d\theta ^{3}}}+\ldots \right),$

l’intégrale relative à $x$ étant prise depuis $x=0$ jusqu’à la valeur de $x$ qui répond à $t$ infini.

Nommons $\mathrm {Y} '$ et $\mathrm {U} '$ ce que deviennent $y$ et $\upsilon$ lorsqu’on y change $x$ en $\theta '\,;$ on aura pareillement

$\int ydx=\mathrm {U'Y'} \left(1+{\frac {d\mathrm {U} '}{d\theta '}}+{\frac {d\mathrm {U} 'd\mathrm {U} '}{d\theta '^{2}}}+{\frac {d.\mathrm {U} 'd\mathrm {U} 'd\mathrm {U} '}{d\theta '^{3}}}+\ldots \right),$

l’intégrale relative à $x'$ étant prise depuis $x=\theta '$ jusqu’à la valeur de $x$ qui répond à $t$ infini. En retranchant donc ces deux équations l’une de l’autre, on aura

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\int ydx&=\mathrm {UY} \left(1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}+{\frac {d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{d\theta ^{2}}}+{\frac {d.\mathrm {U} d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{d\theta ^{3}}}+\ldots \right)\\&-\mathrm {U'Y'} \left(1+{\frac {d\mathrm {U} '}{d\theta '}}+{\frac {d\mathrm {U} 'd\mathrm {U} '}{d\theta '^{2}}}+{\frac {d.\mathrm {U} 'd\mathrm {U} 'd\mathrm {U} '}{d\theta '^{3}}}+\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

l’intégrale relative à $x$ étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\theta ',$ en sorte que la considération de $t$ disparaît dans cette formule. Si $\theta$ et $\theta '$ étaient primitivement renfermés dans $y,$ il ne faudrait faire varier que les quantités $\theta$ et $\theta '$ qu’introduisent dans $\mathrm {U}$ et $\mathrm {U} ',$ les changements de $x$ en $\theta$ et $\theta '$ dans la fonction $\upsilon .$

La formule (A) sera très convergente, si $\upsilon$ ou $-{\frac {ydx}{dy}}$ est une très petite quantité ; or $y$ étant, par la supposition, égal à $\varphi u^{s}u^{'s'}u^{''s''},\ldots ,$ on a

$\upsilon ={\frac {1}{{\cfrac {sdu}{udx}}+{\cfrac {s'du'}{u'dx}}+{\cfrac {s''du''}{u''dx}}+\ldots +{\cfrac {1}{\varphi }}{\cfrac {d\varphi }{dx}}}}.$

Ainsi, dans le cas où $s,s',s'',\ldots$ sont de très grands nombres, $\upsilon$ sera fort petit, et si l’on fait ${\frac {1}{s}}=\alpha ,\ \alpha$ étant une fraction très petite, la fonction $\upsilon$ sera de l’ordre $\alpha ,$ et les termes successifs de la formule (A) seront respectivement des ordres $\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots .$