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a donc

${\frac {\mathrm {T} '}{2^{a+b}p^{a+b}}}{\frac {\left({\frac {1}{t'}}+{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}-\left({\frac {1}{t'}}-{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}\right)^{a+b}}{\sqrt {{\frac {1}{t'^{2}}}-4pq}}}={\frac {1}{1-t'^{2}}},$

ce qui donne la valeur de $\mathrm {T} '.$ En la multipliant par la fonction $(i)$ divisée par $2^{a}p^{a-1}$ et dans laquelle on fait $x=a,$ on aura la fonction génératrice de $y_{a,x'}$ égale à

$(o)\qquad {\frac {2^{b}p^{b}t'^{b}\left[\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}-\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}\right]}{\left(1-t'^{2}\right)\left[\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a+b}-\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a+b}\right]}}.$

Dans le cas de $a=b,$ elle devient

${\frac {2^{a}p^{a}t'^{a}}{\left(1-t'^{2}\right)\left[\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}+\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}\right]}}..$

En développant la fonction

$(q)\qquad \qquad \qquad \left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}+\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}$

suivant les puissances de $t'^{2},$ le radical disparaît, et le plus haut exposant de $t'$ dans ce développement est égal ou plus petit que $a.$ Mais, si l’on développe $\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}$ suivant les puissances de $t'^{2},$ le plus petit exposant de $t'$ sera $2a\,;$ la fonction $(q)$ est donc égale au développement de $\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a},$ en rejetant les puissances de $t'$ supérieures à $a$.

Maintenant on a, par le n^o 3 du Livre I^er,

$z^{a}=1-a\alpha +{\frac {a(a-3)}{1.2}}\alpha ^{2}-{\frac {a(a-4)(a-5)}{1.2.3}}\alpha ^{3}+\ldots ,$

$z$ étant celle des racines de l’équation

$z=1-{\frac {\alpha }{2}}$