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sans doute, de semblables qu’ils n’ont point fait connaître, se contentant de donner leurs résultats appuyés de démonstrations synthétiques. Il regrette, avec raison, qu’ils nous aient celé leurs moyens d’y parvenir, et il dit à Fermat qu’on doit lui savoir gré de ne les avoir pas imités, et de n’avoir pas détruit le pont après avoir passé le fleuve. Il est digne de remarque que Newton, qui avait profité de cette méthode d’induction de Wallis et de ses résultats pour découvrir son théorème du binôme, ait mérité les reproches que Wallis fait aux anciens géomètres, en cachant les moyens qui l’avaient conduit à ses découvertes.

Reprenons la formule (B) de Wallis. Si l’on suppose

${\frac {y_{{\frac {1}{2}},s-{\frac {1}{2}}}}{y_{{\frac {1}{2}},s-1}}}=u_{s},$

cette formule donnera

$u_{s-1}={\frac {(2s-1)^{2}}{(2s-2)2s}}u_{s}$

ou

$(l)\qquad \qquad \qquad 0=2s(2s-2)(u_{s}-u_{s-1})+u_{s}.$

Soit

$u_{s}=\mathrm {A} ^{(0)}+{\frac {\mathrm {A} ^{(1)}}{s+1}}+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {\mathrm {A} ^{(3)}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\ldots ,$

et considérons ce que produit, dans le second membre de l’équation $(l),$ le terme

${\frac {\mathrm {A} ^{(r)}}{(s+1)\ldots (s+r)}}.$

En n’ayant égard qu’à ce terme dans $u_{s},$ on aura

$u_{s}-u_{s-1})={\frac {-r\mathrm {A} ^{(r)}}{s(s+1)(s+2)\ldots (s+r)}}\,;$

le terme $2s(2s-2)(u_{s}-u_{s-1})$ de l’équation (f) devient ainsi

${\frac {-4r\mathrm {A} ^{(r)}(s-1)}{(s+1)\ldots (s+r)}},$