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LIVRE PREMIER.

l’intégrale

${\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}.$

prise entre les deux limites entre lesquelles ${\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}$ est nul de part et d’autre du maximum de cette fonction, est donc à très peu près

${\frac {2}{\sqrt {2n(n+1)s\pi }}}\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\mathrm {H} }{\sin {\cfrac {1}{2}}\mathrm {H} }}\right)^{s}.$

Cette expression a généralement lieu pour les intégrales relatives à tous les maxima qui suivent le premier ; seulement il faut n’en prendre que la moitié relativement au dernier qui correspond à $\mathrm {H} =\pi .$ Il résulte de ce qui précède que cette expression, par rapport au second maximum, est moindre, abstraction faite du signe, que

${\frac {2}{\sqrt {2n(n+1)s\pi }}}\left({\frac {2}{5}}\right)^{s}\,;$

que, relativement au troisième maximum, elle est moindre que

${\frac {2}{\sqrt {2n(n+1)s\pi }}}\left({\frac {2}{9}}\right)^{s},$

et ainsi de suite. Lorsque $s$ est un très grand nombre, ces quantités décroissent avec une extrême rapidité, et elles sont incomparablement plus petites que la quantité relative au premier maximum, et qui, comme on l’a vu, est

${\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {2n(n+1)s\pi }}}\,;$

on peut donc n’avoir égard qu’à cette dernière intégrale, et l’on voit que cela est rigoureux dans le cas de $n$ infini ; car l’équation de condition du maximum donne alors ${\frac {2n+1}{2}}\mathrm {H} ={\frac {2r+1}{2}}\pi ,\ r$ étant un nombre