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terme qui en dépend étant très petit. Cela donne, par le n^o 28,

$\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}={\frac {n^{n+{\frac {1}{2}}}(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{(2n-1)^{2n+{\frac {1}{2}}}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2n}{\sqrt {n}}}}.$

L’équation qui détermine $a$ devient ainsi, à fort peu près,

$a={\frac {p}{p+q}}+{\frac {ia^{n+1}(1-a)^{n}2^{2n}{\sqrt {n}}}{(p+q){\sqrt {\pi }}}}.$

Pour la résoudre, nous observerons que $a$ diffère très peu de ${\frac {p}{p+q}},$ en sorte que, si l’on fait

$a={\frac {p}{p+q}}+\mu ,$

$\mu$ sera fort petit, et l’on aura, d’une manière très approchée,

(1)

$\mu =i{\sqrt {n}}{\frac {p\left[1-\left({\frac {p-q}{p+q}}\right)^{2}\right]^{n}}{(p+q)^{2}{\sqrt {\pi }}}}c^{{\frac {n\mu (p+q)(p-q)}{pq}}-{\frac {(p+q)^{2}n\mu ^{2}}{pq}}}\,;$

on aura ensuite, à très peu près,

$a^{p}(1-a)^{q}=\left({\frac {p}{p+q}}\right)^{p}\left({\frac {q}{p+q}}\right)^{q}c^{-{\frac {(p+q)^{2}}{2pq}}\mu ^{2}}.$

En substituant dans le radical

${\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+ia^{2}(1-a)^{2}{\frac {d\mathrm {Z} ^{2}-\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}dx^{2}}}}},$

pour $a$ sa valeur ${\frac {p}{p+q}}+\mu ,$ pour ${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}}$ sa valeur ${\frac {(p+q)a-p}{ia(1-a)}}$ ou ${\frac {(p+q)\mu }{ia(1-a)}},$ et pour ${\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx^{2}}}$ sa valeur ${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}}{\frac {n-(2n-1)a}{a(1-a)}},$ ce radical devient à fort peu près

${\sqrt {\frac {pq}{p+q}}}{\sqrt {1+{\frac {(p+q)\mu }{pq}}\left[n(p-q)-p\right]+{\frac {(p+q)^{2}}{pq}}\mu ^{2}\left(2n+{\frac {p+q}{i}}\right)}}.$