équations. Les résultats transcendants du calcul sont, comme toutes les abstractions de l’entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu’en remontant par l’analyse métaphysique aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés ; car l’esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu’à se replier sur lui-même.
Le passage du fini à l’infiniment petit répand un grand jour sur la métaphysique du Calcul différentiel. On voit clairement par ce passage que ce calcul n’est que la comparaison des coefficients des mêmes puissances des différentielles, dans le développement en série de fonctions identiquement égales des indices augmentés respectivement de différentielles indéterminées. Les quantités que l’on néglige comme infiniment petites d’un ordre supérieur à celui que l’on conserve, et qui semblent par cette omission ôter à ce calcul la rigueur de l’Algèbre, ne sont que des puissances de ces différentielles, supérieures aux puissances dont on compare les coefficients, et qui par là doivent être rejetées de cette comparaison, en sorte que le Calcul différentiel à toute l’exactitude des autres opérations algébriques. Mais dans ses applications à la Géométrie et à la Mécanique, il est indispensable d’introduire le principe des limites. Par exemple, la sous-tangente d’une courbe étant la limite géométrique de la sous-sécante, ou la ligne dont celle-ci approche sans cesse à mesure que les points d’intersection de la sécante avec la courbe se rapprochent, l’expression analytique de la sous-tangente doit être pareillement la limite de l’expression analytique de la sous-sécante ; elle est par conséquent égale au premier terme de cette dernière expression développée suivant les puissances de l’intervalle qui sépare les ordonnées des deux points d’intersection.
On peut encore envisager la tangente comme la droite dont l’équation approche le plus de celle de la courbe près du point de contingence. L’ordonnée de cette courbe étant une fonction de l’abscisse, si à partir de ce point on fait croître l’abscisse d’une quantité indéterminée, suivant les puissances de laquelle la fonction soit développée, il est visible que la somme des deux premiers termes de ce développe-
