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la probabilité que le bénéfice réel de $\mathrm {A}$ sera compris dans les limites

$s(a\nu +a'\nu '+a''\nu ''+\ldots )\pm l\,;$

en faisant donc

$l=2kr'{\sqrt {s}},$

cette probabilité sera, en prenant l’intégrale depuis $r'=0,$

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dr'c^{-r'^{2}}.$

Nous avons supposé dans ce qui précède les probabilités des événements connues ; examinons le cas où elles sont inconnues. Supposons que, sur $m$ événements semblables attendus, $n$ soient arrivés, et que $\mathrm {A}$ attende $s$ pareils événements, dont chacun lui procure par son arrivée le bénéfice $\nu ,$ la non-arrivée lui causant la perte $\mu .$ Si l’on représente par ${\frac {n}{m}}s+z$ le nombre d’événements qui arriveront sur les $s$ événements attendus, la probabilité que $z$ sera contenu dans les limites $\pm kt$ sera par le n^o 30

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int dtc^{-t^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $t=0,\ k^{2}$ étant égal à

${\frac {2ns(m-n)(m+s)}{m^{3}}}.$

Mais, ${\frac {n}{m}}s+z$ étant le nombre des événements arrivés, le bénéfice réel de $\mathrm {A}$ est

$\left[{\frac {n\nu }{m}}-{\frac {(m-n)\mu }{m}}\right]s+z(\nu +\mu )\,;$

l’intégrale précédente est donc la probabilité que le bénéfice réel de $\mathrm {A}$ sera compris dans les limites

$\left[{\frac {n\nu }{m}}-{\frac {(m-n)\mu }{m}}\right]s\pm kt(\nu +\mu ).$

$k$ est de l’ordre ${\sqrt {s}}$ si $m$ et $n$ sont d’un ordre égal ou plus grand que $s\,;$