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donc

$-\mathrm {S} \left(pi+qi_{1}\right)\mathrm {T} ,$

et alors cette fonction ainsi corrigée devient

$(\varepsilon )\qquad \qquad p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}+p^{(1)}{\underline {\alpha }}^{(1)}+q^{(1)}{\underline {\text{ϐ}}}^{(1)}+p^{(2)}{\underline {\alpha }}^{(2)}+\ldots .$

Pour avoir la probabilité des valeurs de cette dernière fonction, nous observerons que la probabilité de l’existence simultanée des valeurs de $\alpha ,$ ϐ et $\mathrm {T}$ est

${\frac {d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} \varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} -\alpha -{\text{ϐ}})}{\iiint d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} \varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} -\alpha -{\text{ϐ}})}},$

les intégrales du dénominateur étant prises dans leurs limites infinies positives et négatives. Désignons par $k$ l’intégrale $\int d\alpha \varphi (\alpha ),$ prise dans ces limites ; il est facile de voir que ce dénominateur sera égal à $k^{3}.$ La fraction précédente devient ainsi

${\frac {d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} }{k^{3}}}\varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} -\alpha -{\text{ϐ}})\,;$

la probabilité de l’existence simultanée des valeurs de ${\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}$ et $\mathrm {T}$ sera donc

${\frac {d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} }{k^{3}}}\times$

$\varphi \left[{\underline {\alpha }}+\left(i+{\frac {1}{3}}\right)\mathrm {T} \right]\varphi \left[{\underline {\text{ϐ}}}+\left(i_{1}+{\frac {1}{3}}\right)\mathrm {T} \right]\varphi \left[\left({\frac {1}{3}}-i-i_{1}\right)\mathrm {T} -{\underline {\alpha }}-{\underline {\text{ϐ}}}\right].$

$\mathrm {T}$ étant supposé pouvoir varier depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty ,$ on aura la probabilité des valeurs simultanées de ${\underline {\alpha }}$ et de ${\underline {\text{ϐ}}}$ en intégrant la fonction précédente par rapport à $\mathrm {T} ,$ dans les limites infinies. Nommons ${\frac {d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}}{k^{3}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)$ cette intégrale. On voit, par le n^o 20 du Livre II, qu’en désignant par $s$ la valeur de la fonction $(\varepsilon ),$ la probabilité de $s$ sera proportionnelle à

$(\mathrm {H} )\quad \int d\omega c^{-s\omega {\sqrt {-1}}}\times$

$\left\{{\begin{aligned}&\iint d{\underline {\alpha }}d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)\cos \left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)\omega \\\times &\iint d{\underline {\alpha }}^{(1)}d{\underline {\text{ϐ}}}^{(1)}\psi \left({\underline {\alpha }}^{(1)},{\underline {\text{ϐ}}}^{(1)}\right)\cos \left(p^{(1)}{\underline {\alpha }}^{(1)}+q^{(1)}{\underline {\text{ϐ}}}^{(1)}\right)\omega \\\times &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

l’intégrale relative à $\omega$ étant prise depuis $\omega =-\pi$ jusqu’à $\omega =\pi$ et