Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/790

depuis $i=2$ jusqu’à $i=n+1,$ et à supposer nuls $g^{(1)}$ et $g^{(n+2)}.$ L’intégration de l’équation (1) aux différences finies donne

$g^{(i)}={\frac {2}{3}}+\mathrm {A} l^{(i-1)}+\mathrm {A} 'l'^{(i-1)},$

$l$ et $l'$ étant les deux racines $-{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}},\ -{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ de l’équation

$y^{2}+3y+1=0\,;$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ sont deux arbitraires telles que $g^{(i)}$ devienne nul lorsque $i=1$ et lorsque $i=n+2.$ On a donc

${\begin{aligned}\mathrm {A} l^{(n+1)}+\mathrm {A} 'l^{'(n+1)}=&-{\frac {2}{5}},\\\mathrm {A+A'} =&-{\frac {2}{5}}.\end{aligned}}$

$l^{(n+1)}$ est une quantité extrêmement grande lorsque $n$ est un grand nombre et, $l^{'(n+1)}$ étant ${\frac {1}{l^{(n+1)}}},$ on voit que $\mathrm {A}$ est alors une quantité excessivement petite et qu’ainsi $\mathrm {A} '=-{\frac {2}{5}}.$ On a ensuite

$f^{(i)}={\frac {1}{5}}-\mathrm {A} l^{(i-1)}(1+l)-\mathrm {A} 'l^{'(i-1)}(1+l').$

De là il est facile de conclure que l’on a, à très peu près et sans craindre ${\frac {1}{25}}$ d’erreur,

$\mathrm {H} ={\frac {n+1}{5}},$

et qu’ainsi l’exponentielle proportionnelle à la probabilité de l’erreur $s$ est

$c^{-{\frac {5\mathrm {K} s^{2}}{n+1}}}\,;$

on peut donc ainsi déterminer cette probabilité.

On a conclu la valeur de $x^{(n+1)}$ du système des équations (A) par le procédé suivant.

Le système des équations (A) donne

$x^{(1)}-x^{(0)}=p^{(1)}+\gamma ^{(1)}\,;$

d’où l’on tire

$x^{(1)}=p^{(1)}+x^{(0)}+\gamma ^{(1)}.$