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voir s’étendre aux intervalles voisins du maximum de $y.$ Il faut, pour ces intervalles, employer une méthode analogue à celle du n^o 23. Ainsi, en supposant que, dans l’intervalle compris entre $\theta$ et $\varpi ,\ y$ devienne un maximum relativement à $x,$ en sorte que la condition de ce maximum ne fasse disparaître que la différentielle de $y,$ prise par rapport à $x,$ on fera

$y=\mathrm {Y} c^{-t^{2}-t'},$

$\mathrm {Y}$ étant la valeur de $y$ qui convient à ce maximum et à $x'=\theta '\,;$ et si, dans l’intervalle compris entre les limites des intégrations relatives à $x$ et à $x',\ y$ devient un maximum, on fera

$y=\mathrm {Y} c^{-t^{2}-t'^{2}}.$

Comme nous aurons besoin principalement, dans la suite, de l’intégrale $\iint ydxdx'$ prise entre les limites de $x$ et de $x'$ qui rendent $y$ nul, nous allons discuter ce cas.

Considérons l’intégrale $\iint ydxdx',\ y$ étant une fonction de $x,x',$ qui renferme des facteurs élevés à de grandes puissances. Si l’on nomme $a,a'$ les valeurs de $x,x'$ qui répondent au maximum de $y,$ et que l’on nomme $\mathrm {Y}$ ce maximum, on fera

$y=\mathrm {Y} c^{-t^{2}-t'^{2}}\,;$

en supposant ensuite

$x=a+\theta ,\qquad x'=a'+\theta ',$

on substituera ces valeurs dans la fonction $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}},$ et, en la développant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $\theta ,\theta ',$ on aura une équation de cette forme

$\mathrm {M\theta ^{2}+2N\theta \theta '+P\theta '^{2}} =t^{2}+t'^{2}.$

Cette équation peut être mise sous la forme

$\mathrm {M\left(\theta +{\frac {N}{M}}\theta '\right)^{2}+\left(P-{\frac {N^{2}}{M}}\right)\theta '^{2}} =t^{2}+t'^{2}\,;$

on fera donc

$t=\mathrm {\theta {\sqrt {M}}+{\frac {N\theta '}{\sqrt {M}}}} ,\qquad t'=\mathrm {\theta '{\sqrt {P-{\frac {N^{2}}{M}}}}} .$

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