Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/288

En prenant les intégrales depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty ,$ on a

$\int dzc^{-z^{2}}={\sqrt {\pi }},\qquad \int {\frac {zdzc^{-z^{2}}}{\sqrt {z^{2}+2r}}}=0\,;$

on a donc

$\int dyc^{-\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}}=\int dyc^{-z^{2}-2r}=c^{-2r}\int {\frac {1}{2}}dzc^{-z^{2}}={\frac {c^{-2r}{\sqrt {\pi }}}{2}}\,;$

partant

$\int dyc^{-y^{2}-{\frac {r^{2}}{4y^{2}}}}={\frac {c^{-r}{\sqrt {\pi }}}{2}}.$

On aura généralement, par la même analyse, l’intégrale

$\int y^{\pm 2n}dyc^{-y^{2}-{\frac {r^{2}}{4y^{2}}}},$

prise depuis $y$ nul jusqu’à $y$ infini, et par conséquent aussi, dans les mêmes limites, l’intégrale

$\int x^{\pm {\frac {n}{2}}}dxc^{-ax-{\frac {b}{x}}},$

$a$ et $b$ étant positifs et $n$ étant impair. Cela posé, on aura

$\iint 2ydydx\cos rx.c^{-y^{2}\left(1+x^{2}\right)}={\frac {\pi }{2c^{r}}}\,;$

on a donc

$\int {\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2c^{r}}}.$

En différenciant par rapport à $r,$ on a

$\int {\frac {xdx\sin rx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2c^{r}}}\,;$

de là il est facile de conclure la valeur de l’intégrale

$\int {\frac {(a+bx)dx\cos rx}{m+2nx+x^{2}}},$

prise depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=+\infty ,$ le dénominateur n’ayant point de facteurs réels en $x$ du premier degré. Si l’on fait

$x=-n+x'{\sqrt {m-n^{2}}},$