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Cette formule cesserait d’être convergente, si la supposition de $x=\theta$ rendait très petit le dénominateur de l’expression de $\upsilon .$ Supposons, par exemple, que $(x-a)^{\mu }$ soit un facteur de ce dénominateur ; il est clair que les termes successifs de la formule (A) sont respectivement divisés par $(\theta -a)^{\mu },$$(\theta -a)^{2\mu +1},(\theta -a)^{2\mu +2},\ldots ,$ et deviendront très considérables, si $\theta$ est peu différent de $a\,;$ la convergence de cette formule exige donc que $(\theta -a)^{\mu },$$(\theta '-a)^{\mu }$ soient plus grands que $\alpha \,;$ elle ne peut conséquemment être employée dans l’intervalle où $(x-a)^{\mu }$ est égal ou moindre que $\alpha \,;$ mais, dans ce cas, on pourra faire usage de la méthode suivante.

23. Si l’on nomme $\mathrm {Y}$ ce que devient $y$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ il est visible que $(x-a)^{\mu }$ étant un facteur de $-{\frac {dy}{ydx}},$ ou, ce qui revient au même, de ${\frac {d\log {\cfrac {\mathrm {Y} }{y}}}{dx}},\ (x-a)^{\mu +1}$ sera un facteur de $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}}.$ Soit donc

${\begin{aligned}y=&\mathrm {Y} c^{-t^{\mu +1}},\\\upsilon =&{\frac {x-a}{(\log \mathrm {Y} -\log y)^{\frac {1}{\mu +1}}}}\,;\end{aligned}}$

on aura

$x=a+\upsilon t,$

$\upsilon$ ne devenant point infini par la supposition $x=a.$ Si l’on désigne ensuite par $\mathrm {U} ,{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ ce que deviennent $\upsilon ,{\frac {d\upsilon ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}\upsilon ^{3}}{dx^{2}}},\ldots ,$ lorsqu’on y change $x$ en $a$ après les différentiations, on aura, par la formule $(p)$ du n^o 21 du Livre II de la Mécanique céleste,

$x=a+\mathrm {U} t+{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{1.2.dx}}t^{2}+{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.3.dx^{2}}}t^{3}+\ldots ,$

ce qui donne

(B)

$\int ydx=\mathrm {Y} \int dtc^{-t^{\mu +1}}\left(\mathrm {U} +{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}t+{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}t^{2}+\ldots \right)\,;$

cette formule pourra être employée dans tout l’intervalle où $x$ diffère très peu de $a$ elle peut conséquemment servir de supplément à la for-