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fant qui va naître et être baptisé sera un garçon. En élevant $x+(1-x)$ à la puissance $2n$ et développant cette puissance, on aura

$x^{2n}+2nx^{2n-1}(1-x)+{\frac {2n(2n-1)}{1.2}}x^{2n-2}(1-x)^{2}+\ldots .$

La somme des $n$ premiers termes de ce développement sera la probabilité que chaque année le nombre des baptêmes des garçons l’emportera sur celui des baptêmes des filles. Nommons $z$ cette somme ; $z^{i}$ sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant le nombre d’années consécutives ; donc, si l’on désigne par $\mathrm {P}$ la probabilité entière que cela aura lieu, on aura, par le numéro précédent,

$\mathrm {P} ={\frac {\int x^{p}dxz^{i}(1-x)^{q}}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$

Si l’on nomme $a$ la valeur de ce qui rend $x^{p}z^{i}(1-x)^{q}$ un maximum et que l’on désigne par $\mathrm {Z} ,{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}},{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dx^{2}}}$ ce que deviennent $z,{\frac {dz}{dx}},{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ on aura, par le n^o 26,

$\int x^{p}dxz^{i}(1-x)^{q}={\frac {a^{p+1}(1-a)^{q+1}\mathrm {Z} ^{i}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {p(1-a)^{2}+qa^{2}+ia^{2}(1-a)^{2}{\cfrac {d\mathrm {Z} ^{2}-\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} ^{2}dx^{2}}}}}}.$

$z$ étant la somme des $n$ premiers termes de la fonction

$x^{2n}\left[1+2n{\frac {1-x}{x}}+{\frac {2n(2n-1)}{1.2}}{\frac {(1-x)^{2}}{x^{2}}}+\ldots \right],$

on a, par le n^o 37 du Livre I^er,

$z={\frac {\int {\cfrac {u^{n-1}du}{(1+u)^{2n+1}}}}{\int {\cfrac {u^{n-1}du}{(1+u)^{2n+1}}}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $u={\frac {1-x}{x}}$ jusqu’à $u=\infty ,$