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des deux premiers joueurs qui a gagné joue avec le troisième, et, s’il le gagne, il continue de jouer avec le quatrième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’il perde, ou jusqu’à ce qu’il ait gagné successivement tous les joueurs. Dans ce dernier cas, la partie est finie. Mais, si le joueur gagnant au premier coup est vaincu par l’un des autres joueurs, le vainqueur joue avec le joueur suivant et continue de jouer jusqu’à ce qu’il soit vaincu ou jusqu’à ce qu’il ait gagné de suite tous les joueurs. Le jeu continue ainsi juqu’à ce qu’un des joueurs gagne de suite tous les autres, ce qui finit la partie, et alors le joueur qui la gagne emporte tout ce qui a été mis au jeu. Cela posé, on demande : 1^o la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre $x$ de coups ; 2^o la probabilité que l’un quelconque des joueurs gagnera la partie dans ce nombre de coups ; 3^o son avantage. Solution générale du problème. Fonctions génératrices de ces trois quantités, d’où l’on tire leurs valeurs. Expressions fort simples de ces quantités, lorsque $x$ est infini ou lorsque le jeu est continué indéfiniment.

N^o 11.  

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$q$ étant la probabilité d’un événement simple à chaque coup, on demande la probabilité de l’amener $i$ fois de suite dans le nombre $x$ de coups. Solution du problème. Fonction génératrice de cette probabilité, d’où l’on tire l’expression de la probabilité.  

 

Deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ dont les adresses respectives sont $q$ et $1-q,$ jouent à cette condition que celui des deux qui aura le premier vaincu $i$ fois de suite son adversaire gagnera la partie ; on demande les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie, avant ou au coup $x.$ Solution du problème au moyen des fonctions génératrices. Expressions de ces probabilités dans le cas de $x$ infini. Sorts respectifs des joueurs, en supposant qu’à chaque coup qu’ils perdent, ils déposent un franc au jeu. N^o 12  

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Une urne étant supposée contenir $n+1$ boules, distinguées par les n^os $0,1,2,3,\ldots ,n,$ on en tire une boule que l’on remet dans l’urne après le tirage ; on demande la probabilité qu’après $i$ tirages la somme des nombres amenés sera égale à $s.$ Solution du problème fondée sur un artifice singulier, qui consiste dans l’emploi d’une caractéristique propre à faire connaître la diminution successive qu’il faut faire subir à la variable, dans chaque terme du résultat final des intégrations successives, lorsqu’elles sont discontinues. Application de la solution au problème qui consiste à déterminer la probabilité d’amener un nombre donné, en projetant $i$ dés, chacun d’un nombre $n+1$ de faces, et au problème où l’on cherche la probabilité que la somme des inclinaisons à l’écliptique d’un nombre $s$ d’orbites sera comprise dans des limites données, en supposant toutes les inclinaisons, depuis zéro jusqu’à l’angle droit, également possibles. On fait voir que l’existence d’une cause commune qui a dirigé les mouvements de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du Soleil, est indiquée avec une probabilité excessivement approchante de la certitude et bien supérieure à celle du plus grand nombre des faits historiques, sur lesquels on ne se permet aucun doute. La même solution, appliquée au mouvement et aux orbites des cent comètes observées jusqu’à ce jour, prouve que rien n’indique, dans ces astres, une cause primitive qui ait tendu à les faire mouvoir dans un sens plutôt que dans un autre, ou sous une inclinaison plutôt que sous une autre, au plan de l’écliptique. N^o  

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Solution du problème exposé au commencement du numéro précédent, dans le cas où le nombre des boules qui portent le même numéro n’est pas égal à l’unité et varie suivant une loi quelconque. N^o 14  

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