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Cette équation servira depuis $r=0$ jusqu’à $r=n-1,$ pourvu que l’on y change $\mathrm {Y} _{0}$ dans $\mathrm {{\overline {Y}}_{0}\ {\overline {Y}}_{0}}$ étant l’avantage des deux premiers joueurs, au moment où ils entrent au jeu.

Si, au commencement de la partie, chacun des joueurs dépose au jeu une somme $a,$ l’avantage du joueur $(r)$ en sera augmenté de $(n+1)a,$ multiplié par la probabilité $y_{r},$ que ce joueur gagnera la partie ; mais il faut en ôter la mise $a$ de ce joueur ; il faut donc, pour avoir alors son avantage, augmenter l’expression précédente de $\mathrm {Y} _{r}$ de la quantité

${\frac {(n+1)a(1-p)p^{r}}{2-p-p^{n}}}-a.$

Lorsque l’avantage de $(r)$ devient négatif, il se change en désavantage.

12. Soit $q$ la probabilité d’un événement simple à chaque coup ; on demande la probabilité de l’amener $i$ fois de suite dans le nombre $x$ de coups.

Nommons $z_{x}$ la probabilité que cet événement composé aura lieu précisément au coup $x.$ Pour cela, il est nécessaire que l’événement simple n’arrive point au coup $x-i,$ et qu’il arrive dans les $i$ coups suivants, l’événement composé n’étant point arrivé précédemment. Soit alors $\mathrm {P}$ la probabilité que l’événement simple n’arrivera point au coup $x-i-1.$ La probabilité correspondante qu’il n’arrivera point au coup $x-i$ sera $(1-q)\mathrm {P} ,$ et la probabilité correspondante que l’événement composé aura lieu précisément au coup $x$ sera $(1-q)\mathrm {P} q^{i}.$ Ce sera la partie de $z_{x}$ correspondante à ce cas. Mais la probabilité que l’événement composé arrivera au coup $x-1$ est évidemment $\mathrm {P} q^{i}\,;$ on a donc

$\mathrm {P} ={\frac {z_{x-1}}{q^{i}}}\,;$

ainsi la valeur partielle de $z_{x},$ relative à ce cas, est $(1-q)z_{x-1}.$

Considérons maintenant les cas où l’événement simple arrivera au coup $x-i-1.$ Nommons $\mathrm {P} '$ la probabilité qu’il n’arrivera pas au