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LIVRE PREMIER.

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CHAPITRE II.

des fonctions génératrices à deux variables.

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12. Nommons $u$ une fonction de $t$ et $t'\,;$ supposons qu’en la développant suivant les puissances de $t$ et $t'$ elle donne la suite infinie

${\begin{aligned}&y_{0,0}\quad +y_{1,0}t\quad +y_{2,0}t^{2}\quad +\ldots +y_{x,0}t^{x}\quad +y_{x+1,0}t^{x+1}\quad +\ldots y_{\infty ,0}t^{\infty }\\+&y_{0,1}t'\ +y_{1,1}tt'\,\ +y_{2,1}t^{2}t'\,\ +\ldots +y_{x,1}t^{x}t'\ +y_{x+1,1}t^{x+1}t'\,\ +\ldots y_{\infty ,1}t^{\infty }t'\\+&y_{0,2}t'^{2}+y_{1,2}tt'^{2}+y_{2,2}t^{2}t'^{2}+\ldots +y_{x,2}t^{x}t'^{2}+y_{x+1,2}t^{x+2}t'^{2}+\ldots y_{\infty ,2}t^{\infty }t'^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ sera $y_{x,x'}\,;\ u$ sera donc la fonction génératrice de $y_{x,x'}\,;\ u.$

Si l’on désigne par la caractéristique $\Delta$ les différences finies lorsque $x$ seul varie de l’unité, et par la caractéristique $'\Delta$ les différences lorsque $x'$ seul varie de la même quantité, la fonction génératrice de $\Delta y_{x,x'}$ sera, par le n^o 1, $u\left({\frac {1}{t}}-1\right),$ et celle de $'\Delta y_{x,x'}$ sera $u\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\,;$ d’où il est facile de conclure que la fonction génératrice de $\Delta ^{i}\Delta ^{i'}y_{x,x'}$ sera

$u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{i'}.$

En général, si l’on désigne par $\nabla y_{x,x'}$ la quantité

${\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,x'}+\mathrm {B} y_{x+1,x'}+\mathrm {C} y_{x+2,x'}\quad \ +&\ldots \\+\mathrm {B} 'y_{x,x'+1}+\mathrm {C} 'y_{x+1,x'+1}+&\ldots \\+\mathrm {C} ''y_{x,x'+2}\quad +&\ldots \\+&\ldots \end{aligned}}$

si l’on désigne pareillement par $\nabla ^{2}y_{x,x'}$ une fonction dans laquelle