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réelles entre elles et des quantités imaginaires entre elles, il est nécessaire de supposer, comme nous l’avons fait, $f=0.$

On peut encore parvenir à la formule $(p)$ au moyen de l’équation suivante :

$i\left[\varphi (z+2,\ n)-\varphi (z,\ n)\right]=(n+z+2)\varphi '(z+2,\ n)+(n-z)\varphi '(z,\ n),$

$\varphi '(z,\ n)$ étant le coefficient de $dz$ dans la différentielle de $\varphi (z,\ n)$ et $\varphi (z,\ n)$ étant égal à

$(n+z)^{i}-n(n+z-2)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n+z-4)^{i}-\ldots ,$

tous les termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance $i$ est négative devant être rejetés, et $z$ ne surpassant point $n,$ en sorte que la quantité élevée à la puissance $i$ ne surpasse jamais $2n.$ En résolvant cette équation aux différences infiniment petites et finies, par la méthode du n^o 30, et déterminant convenablement les constantes arbitraires, on parvient à la forme $(p).$

Nous allons maintenant donner quelques applications de cette formule, qui vont nous conduire à plusieurs théorèmes curieux d’Analyse.

Supposons $m$ nul ; alors on a

$k=\int t^{n+m-1}dtc^{-t^{n}}={\frac {1}{n}}\,;$

la formule (p) devient ainsi

${\begin{aligned}&{\frac {(n+z)^{n-1}-n(n+z-2)^{n-1}+{\cfrac {n(n-1)}{1.2}}(n+z-4)^{n-1}-\ldots }{1.2.3\ldots (n-1)2^{n}}}\\\\&={\frac {\int dx'\cos zx'\left({\cfrac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}}{\pi }}.\end{aligned}}$

On a

$\log \left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}=n\log \left(1-{\frac {1}{6}}x'^{2}+{\frac {1}{120}}x'^{4}-\ldots \right),$

ce qui donne

$\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}=c^{-{\frac {n}{6}}x'^{2}}\left(1-{\frac {nx'^{4}}{180}}+\ldots \right)\,;$