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20. Lorsque l’on veut corriger un élément déjà connu à fort peu près, par l’ensemble d’un grand nombre d’observations, on forme des équations de condition de la manière suivante. Soient $z$ la correction de l’élément, et ϐ l’observation ; l’expression analytique de celle-ci sera une fonction de l’élément. En y substituant, au lieu de l’élément, sa valeur approchée, plus la correction $z\,;$ en réduisant en série par rapport à $z$ et négligeant le carré de $z,$ cette fonction prendra la forme $h+pz\,;$ en l’égalant à la quantité observée ϐ, on aura

ϐ$=h+pz.$

$z$ serait donc déterminé, si l’observation était rigoureuse ; mais, comme elle est susceptible d’erreur, en nommant $\varepsilon$ cette erreur, on a exactement, aux quantités près de l’ordre $z^{2},$

ϐ$+\varepsilon =h+pz\,;$

et en faisant ϐ$-h=\alpha ,$ on a

Chaque observation fournit une équation semblable, que l’on peut représenter pour l’observation $(i+1)$^ième par celle-ci

$\varepsilon ^{(i)}=p^{(i)}z-\alpha ^{(i)}.$

En réunissant toutes ces équations, on a

(1)

$\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)}=z\mathrm {S} p^{(i)}-\mathrm {S} \alpha ^{(i)},$

le signe $\mathrm {S}$ se rapportant à toutes les valeurs de $i,$ depuis $i=0$ jusqu’à $i=s-1,\ s$ étant le nombre total des observations. En supposant nulle la somme des erreurs, cette équation donne

$z={\frac {\mathrm {S} \alpha ^{(i)}}{\mathrm {S} p^{(i)}}}\,;$

c’est ce que l’on nomme ordinairement résultat moyen des observations.

On a vu, dans le n^o 18, que la probabilité que la somme des er-