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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

on aura

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {{\frac {1}{2}}Z-{\frac {1}{2}}Z''} +{\frac {1}{2}}(1+t)\left({\frac {1}{t}}-1\right)\mathrm {Z} '\,;$

or on a

$\mathrm {{\frac {1}{2}}Z-{\frac {1}{2}}Z''} =1+{\frac {i^{2}}{1.2}}z+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3.4}}z^{2}+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5.6}}z^{3}+\ldots \,;$

partant,

${\frac {u}{t^{i}}}=u\left[1+{\frac {i^{2}}{1.2}}t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3.4}}t^{2}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{4}+\ldots \right]$

$+{\frac {i}{2}}u(1+t)\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{t}}-1&+{\frac {i^{2}-1}{1.2.3}}t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{3}\\&+{\frac {\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}t^{2}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{5}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;$

d’où l’on conclut, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

${\begin{aligned}y_{x+i}=y_{x}&+{\frac {i^{2}}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x-1}+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)}{1.2.3.4}}\Delta ^{4}y_{x-2}\\&+{\frac {i^{2}\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5.6}}\Delta ^{6}y_{x-3}+\ldots \\&+{\frac {i}{2}}\left(\Delta y_{x}+\Delta y_{x-1}\right)+{\frac {i}{2}}{\frac {i^{2}-1}{1.2.3}}\left(\Delta ^{3}y_{x-1}+\Delta ^{3}y_{x-2}\right)\\&+{\frac {i}{2}}{\frac {\left(i^{2}-1\right)\left(i^{2}-4\right)}{1.2.3.4.5}}(\Delta ^{5}y_{x-2}+\Delta ^{5}y_{x-3}+\ldots .\end{aligned}}$

Cette formule sert à interpoler entre un nombre impair $2x+1$ de quantités équidistantes ; l’intervalle commun qui les sépare étant pris pour unité, $y_{x}$ est la moyenne des grandeurs $y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{2x},$ et $i$ est la distance de $y_{x+i}$ à cette moyenne. L’expression précédente est alors symétrique relativement à ces grandeurs ; car $\Delta ^{2}y_{x-1},$ par exemple, est égal à $y_{x+1}-2y_{x}+y_{x-1},$ et $\Delta y_{x}+\Delta y_{x-1}$ est égal à $y_{x+1}-y_{x-1}.$ Ainsi les quantités placées au-dessus et au-dessous de la moyenne $y_{x}$ ; entrent de la même manière dans cette expression.

Si l’on change $i$ en $i+1$ dans la dernière expression de ${\frac {u}{t^{i}}}$ et si l’on en retranche cette expression elle-même, on aura l’expression de