Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/475

au-dessous de l’unité. La valeur de $p$ donne $1-p={\frac {x'+z}{n}}\,;$ on aura donc, par l’analyse précédente,

$p^{x-l}(1-p)^{x'+l}={\frac {x^{x-l}x'^{x'+l}}{n^{n}}}\left(1+{\frac {nzl}{xx'}}\right)\,;$

de là on tire

${\frac {1.2.3\ldots n}{1.2.3\ldots (x-l).1.2.3\ldots (x'+l)}}p^{x-l}(1-p)^{x'+l}$

$={\frac {{\sqrt {n}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}\left[1+{\frac {nzl}{xx'}}+{\frac {l(x'-x)}{2xx'}}-{\frac {l^{3}}{6x^{2}}}+{\frac {l^{3}}{6x'^{2}}}\right].$

On aura le terme antérieur au plus grand terme et qui en est éloigné à la distance $l,$ en faisant $l$ négatif dans cette équation ; en réunissant ensuite ces deux termes, leur somme sera

${\frac {2{\sqrt {n}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}}.$

L’intégrale finie

$\sum {\frac {2{\sqrt {n}}}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2xx'}}}}c^{-{\frac {nl^{2}}{2xx'}}},$

prise depuis $l=0$ inclusivement, exprimera donc la somme de tous les termes du binôme $\left[p+(1-p)\right]^{n},$ comprise entre les deux termes, dont l’un a $p^{x+l}$ pour facteur, et l’autre a $p^{x-l}$ pour facteur, et qui sont ainsi équidistants du plus grand terme ; mais il faut retrancher de cette somme le plus grand terme qui y est évidemment compris deux fois.

Maintenant, pour avoir cette intégrale finie, nous observerons que l’on a, par le n^o 10 du Livre I^er, $y$ étant fonction de $l,$

$\sum y={\frac {1}{c^{\frac {dy}{dt}}-1}}=\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{-1}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{0}-{\frac {1}{12}}{\frac {dy}{dt}}+\ldots ,$

d’où l’on tire, par le même numéro,

$\sum y=\int ydl-{\frac {1}{2}}y+{\frac {1}{12}}{\frac {dy}{dl}}+\ldots +\mathrm {const.} \,;$