de ce théorème ne laisse aucun doute sur son exactitude rigoureuse, et il est visible par l’analyse précédente que cette comparaison revient à négliger les termes multipliés par et ses puissances, relativement aux quantités finies ; cette omission n’ôte donc rien à la rigueur du Calcul différentiel. Mais on voit de plus, a priori, que les termes affectés de la même puissance de l’indéterminée doivent se détruire mutuellement, ce que l’on peut vérifier a posteriori. Ainsi ce que l’on néglige comme infiniment petit est rigoureusement nul, en sorte que l’omission des infiniment petits, relativement aux quantités finies, n’est au fond qu’un moyen facile d’éliminer les termes superflus qui doivent disparaître dans le résultat final.
Ce rapprochement du Calcul aux différences finies et du Calcul différentiel met en évidence la rigueur des résultats de ce dernier calcul, et donne sa vraie métaphysique ; mais ses applications à l’étendue, à la durée et au mouvement supposent de plus le principe des limites. On peut, par un rapprochement semblable, éclaircir divers points de l’Analyse infinitésimale, qui ont été des sujets de contestation parmi les géomètres : telle est la discontinuité des fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux différences partielles. Ceux qui ont rejeté cette discontinuité se fondaient sur ce que l’analyse ordinaire des différences infiniment petites suppose que les différentielles successives d’une fonction doivent être infiniment petites relativement aux précédentes, ce qui n’a point lieu lorsque la fonction est discontinue. Pour éclaircir cette question délicate, il faut la considérer dans les différences finies, et observer ce qui arrive dans le passage de ces différences aux différences infiniment petites.
Prenons pour exemple l’équation suivante aux différences finies partielles :
son équation génératrice est, par le no 16,
