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coup $x-i-2\,;$ la probabilité qu’il arrivera dans ce cas au coup $x-i-1$ sera $q\mathrm {P} ',$ et la probabilité qu’il n’arrivera pas au coup $x-i$ sera $(1-q)q\mathrm {P} 'q^{i}\,;$ la valeur partielle de $z_{x}$ relative à ce cas sera donc $(1-q)q\mathrm {P} 'q^{i}.$ Mais la probabilité que l’événement composé arrivera précisément au coup $x-2$ est $\mathrm {P} 'q^{i}\,:$ c’est la valeur de $z_{x-2},$ ce qui donne

$\mathrm {P} '={\frac {z_{x-2}}{q^{i}}}\,;$

$(1-q)qz_{x-2}$ est donc la valeur partielle de $z_{x}$ relative au cas où l’événement simple arrivera au coup $x-i-1,$ sans arriver au coup $x-i-2.$

On trouvera de la même manière que $(1-q)q^{2}z_{x-3}$ est la valeur partielle de $z_{x}$ relative au cas où l’événement simple arrivera aux coups $x-i-1$ et $x-i-2,$ sans arriver au coup $x-i-3\,;$ et ainsi de suite.

En réunissant toutes ces valeurs partielles de $z_{x}$ on aura

$z_{x}=(1-q)(z_{x-1}+qz_{x-2}+q^{2}z_{x-3}+\ldots +q^{i-1}z_{x-i}.$

Il est facile d’en conclure que la fonction génératrice de $z_{x}$ est

${\frac {q^{i}(1-qt)t^{i}}{1-t+(1-q)q^{i}t^{i+1}}},$

car cette fonction génératrice est

${\frac {\varphi (t)}{1-(1-q)\left(t+qt^{2}+\ldots +q^{i-1}t^{i}\right)}}.$

ou

${\frac {\varphi (t)(1-qt)}{1-t+(1-q)q^{i}t^{i+1}}}.$

La fonction $\varphi (t)$ doit être déterminée par la condition qu’elle ne doit renfermer que la puissance $i$ de $t,$ puisque l’événement composé ne peut commencer à être possible qu’au coup $i\,;$ de plus, le coefficient de cette puissance est la probabilité $q^{i}$ que cet événement aura lieu précisément à ce coup.