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Si l’on considère $x$ comme une fonction de $t$ donnée par cette équation, on aura, en supposant $dt$ constant,

$x=\theta +t{\frac {dx}{dt}}+{\frac {t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}+\ldots ,$

$t$ devant être supposé nul après les différentiations, dans les valeurs de ${\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ldots .$ On a généralement

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}={\frac {1}{dt}}d.{\frac {1}{dt}}d.{\frac {1}{dt}}\ldots d.{\frac {dx}{dt}},$

la caractéristique différentielle se rapportant à tout ce qui la suit, et $dt$ pouvant varier d’une manière quelconque dans le second membre de cette équation ; de plus, si l’on différentier l’expression précédente de $t$ en $y,$ et si l’on désigne $-{\frac {ydx}{dy}}$ par $\upsilon ,$ on aura $dt={\frac {dx}{\upsilon }}\,;$ on aura donc

${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}={\frac {\upsilon d\upsilon d\upsilon \ldots d\upsilon }{dx^{n-1}}},$

$dx$ étant supposé constant dans le second membre de cette équation. Ainsi, en nommant $\mathrm {U}$ ce que devient $\upsilon$ lorsqu’on y change $x$ en $\theta ,$ la valeur de ${\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}$ qui répond à $x=\theta ,$ ou, ce qui revient au même, à $t=0,$ sera égale à

${\frac {\mathrm {U} d\mathrm {U} d\mathrm {U} \ldots d\mathrm {U} }{d\theta ^{n-1}}}\,;$

on aura donc

$x=\theta +\mathrm {U} t+{\frac {\mathrm {U} d\mathrm {U} }{1.2.d\theta }}t^{2}+{\frac {\mathrm {U} d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{1.2.3.d\theta ^{2}}}t^{3}+\ldots ,$

d’où l’on tire

$dx=\mathrm {U} dt\left(1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}t+{\frac {d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{1.2.d\theta ^{2}}}t^{2}+\ldots \right)\,;$

par conséquent

$\int ydx=\mathrm {UY} \int dtc^{-t}\left(1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}t+{\frac {d\mathrm {U} d\mathrm {U} }{1.2.d\theta ^{2}}}t^{2}+\ldots \right).$

Si l’on prend l’intégrale depuis $t=0$ jusqu’à $t$ infini, on aura généralement

$\int t^{n}dtc^{-t}=1.2.3\ldots n\,;$