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LIVRE PREMIER.

Supposons $n={\frac {1}{2}},\ n'=0$ et $\mu =1\,;$ si l’on observe que

$\int du{\sqrt {1-u^{2}}}={\frac {1}{4}}\pi ,$

on aura

${\frac {(s+1)(s+2)\ldots 2s}{1.2.3\ldots s}}={\frac {2^{2s+1}}{\pi }}\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}.$

Le premier membre de cette équation est le coefficient du terme moyen, ou indépendant de $a,$ du binôme $\left({\frac {1}{a}}+a\right)^{2s}\,;$ on aura donc, au moyen des méthodes précédentes, ce coefficient par une approximation rapide, lorsque $s$ est un grand nombre. Pour cela, nous ferons

${\frac {1}{s-{\frac {1}{2}}}}=\alpha ,\qquad 1-u^{2}=c^{-\alpha t^{2}},$

ce qui donne

$u={\sqrt {1-c^{-\alpha t^{2}}}}$

et

$\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}=\int duc^{-t^{2}}.$

Supposons

${\sqrt {1-c^{-\alpha t^{2}}}}=\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(1+\alpha q^{(1)}t^{2}+\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\ldots \right).$

En prenant les différences logarithmiques des deux membres de cette équation, on aura

${\frac {1+3\alpha q^{(1)}t^{2}+5\alpha ^{2}q^{(2)}t^{4}+7\alpha ^{3}q^{(3)}t^{6}+\ldots }{t+\alpha q^{(1)}t^{3}+\alpha ^{2}q^{(2)}t^{5}+\alpha ^{3}q^{(3)}t^{7}+\ldots }}={\frac {\alpha tc^{-\alpha t^{2}}}{1-c^{-\alpha t^{2}}}},$

et ce dernier membre est égal à

${\frac {1-\alpha t^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}t^{4}-{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}t^{6}+\ldots }{t\left(1-{\frac {\alpha t^{2}}{1.2}}+{\frac {\alpha ^{2}t^{4}}{1.2.3}}-{\frac {\alpha ^{3}t^{6}}{1.2.3.4}}+\ldots \right)}}.$

On aura donc, en comparant cette quantité au prepiier membre et réduisant au même dénominateur, l’équation générale

${\begin{aligned}0=2iq^{(i)}-{\frac {2i-3}{1.2}}q^{(i-1)}+&{\frac {2i-6}{1.2.3}}q^{(i-2)}-{\frac {2i-9}{1.2.3.4}}q^{(i-3)}\\+&{\frac {2i-12}{1.2.3.4.5}}q^{(i-4)}-\ldots ,\end{aligned}}$