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n^o 27 du Livre I^er,

$(2)\left\{{\begin{aligned}&\int ydx=\mathrm {Y} \left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}.\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3.4.dx^{4}}}+\ldots \right)\int dtc^{-t^{2}}\\&+{\frac {\mathrm {Y} }{2}}c^{-\mathrm {T} ^{2}}\left[{\frac {d.\mathrm {U} ^{2}}{dx}}-\mathrm {T} {\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+\left(\mathrm {T} ^{2}+1\right){\frac {d^{3}.\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3.dx^{3}}}-\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {Y} }{2}}c^{-\mathrm {T} '^{2}}\left[{\frac {d.\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+\mathrm {T} '{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+\left(\mathrm {T} '^{2}+1\right){\frac {d^{3}.\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3.dx^{3}}}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}\right.$

$v$ est égal à ${\frac {x-a}{\sqrt {\log \mathrm {Y} ^{\log }y}}},$ et $\mathrm {U} ,{\frac {d.\mathrm {U} ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ sont ce que deviennent $v,{\frac {d.v^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}.v^{3}}{dx^{2}}},\ldots ,$ lorsqu’on y change, après les différentiations, $x$ en $a,\ a$ étant la valeur de $x$ qui rend $y$ un maximum : $\mathrm {T}$ est égal à ce que devient la fonction ${\sqrt {\log \mathrm {Y} ^{\log }y}},$ lorsqu’on change $x$ en $a-\theta$ dans $y,$ et $\mathrm {T} '$ est ce que devient la même fonction, lorsqu’on y change $x$ dans $a+\theta '.$ L’expression précédente de $\int ydx$ donne la valeur de cette intégrale, dans les limites $x=a-\theta$ et $x=a+\theta ',$ l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ étant prise depuis $t=-\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\mathrm {T} '.$

Le plus souvent, aux limites de l’intégrale $\int ydx,$ étendue depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,\ y$ est nul ; ou, lorsque $y$ n’est pas nul, il devient si petit à ces limites, qu’on peut le supposer nul. Alors, on peut faire à ces limites $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ infinis, ce qui donne pour l’intégrale $\int ydx,$ étendue depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$

$\int ydx=Y\left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}.\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3.4.dx^{4}}}+\ldots \right){\sqrt {\pi }}\,;$

ainsi la probabilité que la valeur de $x$ est comprise dans les limites $x=a-\theta$ et $x=a+\theta '$ est égale à

$(3)\quad {\frac {\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+$

${\frac {\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}c^{-T^{2}}\left[{\frac {d.\mathrm {U} ^{2}}{dx}}-\mathrm {T} {\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+\left(\mathrm {T} ^{2}+1\right){\frac {d^{3}.\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3.dx^{3}}}-\ldots \right]\\-&{\frac {1}{2}}c^{-T'^{2}}\left[{\frac {d.\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+\mathrm {T} '{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+\left(\mathrm {T} '^{2}+1\right){\frac {d^{3}.\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3.dx^{3}}}+\ldots \right]\end{aligned}}\right\}}{\left(\mathrm {U} +{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\cfrac {1.3}{2^{2}}}{\cfrac {d^{4}.\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3.4.dx^{4}}}+\ldots \right){\sqrt {\pi }}}}.$

On voit, par le n^o 23 du Livre I^er, que, dans le cas où $y$ a pour facteurs