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le développement du binôme un plus $\mathrm {C}$, on aura, par ce qui précède, les coefficients correspondants en écrivant, au lieu des produits de $\mathrm {A}$ par les puissances successives de $\mathrm {C}$, les différences successives de la fonction de l’indice dans $\mathrm {A}$, et en multipliant par cette fonction le terme indépendant de $\mathrm {C}$. On aura donc une fonction quelconque de l’indice augmentée de l’indéterminée n, exprimée par les coefficients de la puissance n du binôme un plus un, multipliés respectivement par la fonction elle-même et par ses différences successives, ce qui donne l’interpolation des séries au moyen des différences de leurs termes consécutifs, en considérant l’indéterminée n comme fractionna ire.

L’équation identique $\mathrm {B}$ égale $\mathrm {C}$ plus un donne l’équation identique $\mathrm {C}$ égale $\mathrm {B}$ moins un. En élevant à la puissance n les deux membres de cette dernière égalité et multipliant par $\mathrm {A}$ ces deux puissances, dans le produit de $\mathrm {A}$ par la puissance n de $\mathrm {C}$, le coefficient d’une puissance donnée de la variable t sera la différence finie n^ème du coefficient de la même puissance dans $\mathrm {A}$. Dans le produit de $\mathrm {A}$ par le développement de la puissance n du binôme $\mathrm {B}$ moins un, le coefficient de la puissance donnée de la variable sera la somme des termes de ce développement multipliés respectivement par les valeurs du coefficient de la même puissance dans $\mathrm {A}$, lorsqu’on fait croître successivement l’indice de ce coefficient des quantités n, n moins un, n moins deux, etc., ce qui donne la différence finie n^ème d’une fonction de l’indice, au moyen des valeurs successives de cette fonction.

$\delta$ désignant la dérivée du coefficient d’une puissance donnée de la variable t dans $\mathrm {A}$, relative au multiplicateur $\mathrm {B}$, désignons par la caractéristique $\Delta$ la dérivée relative au multiplicateur $\mathrm {C}$. Si dans l’équation $\mathrm {B}$ égale $\mathrm {C}$ plus un on substitue $\delta$ au lieu de $\mathrm {B}$, et $\Delta$ au lieu de $\mathrm {C}$, par ce qui précède, en élevant les deux membres de cette équation à la puissance n, il y aura toujours égalité, pourvu que dans chaque terme du développement on place le coefficient de la puissance donnée de la variable dans $\mathrm {A}$, ou la fonction de l’indice, à la suite de chaque puissance des caractéristiques, et que l’on multiplie par cette fonction