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LIVRE PREMIER.

Si l’on nomme $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} '$ ce que deviennent $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ lorsqu’on y change $\theta -\alpha$ en $t,$ ou, ce qui revient au même, $\theta$ en $t+\alpha ,$ on aura

$\mathrm {\frac {P'}{R'}} =u_{0}+u_{1}t+u_{2}t^{2}+\ldots \,;$

partant, ${\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}$ est égal au coefficient de $t^{s-1}$ dans le développement de

${\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}}\,;$

il est donc égal à

${\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}}{dt^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}},$

pourvu que l’on suppose $t$ nul après les différentiations. Maintenant le coefficient de $\theta ^{r}$ dans

${\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}}$

étant égal à

$-{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\alpha +t)^{r+1}}},$

ce même coefficient dans

${\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}}{dt^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\theta -\alpha -t)}}$

sera

$-{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)}}{\frac {d^{s-1}}{dt^{s-1}}}{\frac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\alpha +t)^{r+1}}},$

$t$ étant supposé nul après les différentiations ; cette dernière quantité est donc le coefficient de $\theta ^{r}$ dans le développement de ${\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}.$ Si l’on restitue, dans $\mathrm {P} '$ et $\mathrm {R} ',\ \theta -\alpha$ au lieu de $t,$ ce qui les change en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$, on aura

${\frac {d^{s-1}{\cfrac {\mathrm {P} '}{\mathrm {R} '(\alpha +t)^{r+1}}}}{dt^{s-1}}}={\frac {d^{s-1}{\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {R} \theta ^{r+1}}}}{d\theta ^{s-1}}},$

pourvu que l’on suppose $\theta =\alpha$ après les différentiations, dans le second