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qui sortira de la seconde urne. On diminuerait encore cette influence, en considérant de la même manière une troisième urne, une quatrième, etc.

Considérons deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ jouant ensemble, de manière qu’à chaque coup celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure jusqu’à ce que l’un d’eux ait gagné tous les jetons de l’autre. Soient $p$ et $q$ leurs adresses respectives, $a$ et $b$ leurs nombres de jetons en commençant. Il résulte de la formule (H) du n^o 10, en y faisant $i$ infini, que la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner la partie est

${\frac {p^{b}\left(p^{a}-q^{a}\right)}{p^{a+b}-q^{a+b}}}.$

Si l’on fait dans cette expression

$p={\frac {1\pm \alpha }{2}},\qquad q={\frac {1\mp \alpha }{2}},$

on aura, en prenant le signe supérieur, la probabilité relative au cas où $\mathrm {A}$ est plus fort que $\mathrm {B} ,$ et, en prenant le signe inférieur, on aura la probabilité relative au cas où $\mathrm {A}$ est moins fort que $\mathrm {B} .$ Si l’on ignore quel est le plus fort des joueurs, la demi-somme de ces deux probabilités sera la probabilité de $\mathrm {A} ,$ que l’on trouve ainsi égale à

(3)

${\frac {{\frac {1}{2}}\left[(1+\alpha )^{a}-(1-\alpha )^{a}\right]\left[(1+\alpha )^{b}-(1-\alpha )^{b}\right]}{(1+\alpha )^{a+b}-(1-\alpha )^{a+b}}}\,;$

en changeant $a$ en $b$ et réciproquement, on aura la probabilité de $\mathrm {B} .$ Si l’on suppose $a$ infiniment petit ou nul, ces probabilités deviennent ${\frac {a}{a+b}}$ et ${\frac {b}{a+b}}\,;$ elles sont donc proportionnelles aux nombres des jetons des joueurs ; ainsi, pour l’égalité du jeu, leurs mises doivent être dans ce rapport. Mais alors l’inégalité qui peut exister entre eux est favorable au joueur qui a le plus petit nombre de jetons ; car, si l’on suppose $a$ moindre que $b,$ il est facile de voir que l’expression (3) est plus grande que ${\frac {a}{a+b}}.$ Si les joueurs conviennent de doubler, de tripler, etc.