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Si l’on conçoit $\mathrm {U}$ fonction de deux variables $t$ et $t',$ le coefficient du produit $t^{x}t'^{x'},$ dans le développement de $\mathrm {U} ,$ sera une fonction de $x$ et de $x'$ que je désigne par $y_{x,x'},\ \mathrm {T}$ étant une fonction développée des mêmes variables $t$ et $t',$ le produit $\mathrm {UT}$ sera la fonction génératrice d’une dérivée de $y_{x,x'},$ que je désignerai par $\delta y_{x,x'}\,;$ et il est facile d’en conclure que $\mathrm {UT} ^{n}$ sera la fonction génératrice de $\delta ^{n}y_{x,x'}.$

Si l’on a $0=\delta y_{x,x'},$ on aura une équation aux différences finies partielles. Représentons cette équation par la suivante

${\begin{aligned}0=&a\ \ y_{x,x'}\quad +b\ y_{x,x'+1}\quad +cy_{x,x'+2}+\ldots ,\\+&a'\ y_{x+1,x'}+b'y_{x+1,x'+1}+\ldots ,\\+&a''y_{x+2,x'}+\ldots ,\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

il est facile de voir que la fonction génératrice de l’équation proposée sera

${\frac {\mathrm {A} +\mathrm {B} t'+\mathrm {C} t'^{2}+\ldots +\mathrm {H} t'^{n'-1}+\mathrm {A} '+\mathrm {B} 't+\mathrm {C} 't^{2}+\ldots +\mathrm {H} 't^{n'-1}}{\left\{{\begin{aligned}&a\ \ t^{n}t'^{n'}\quad +b\ t^{n}t'^{n'-1}\quad +ct^{n}t'^{n'-2}+\ldots \\+&a'\ t^{n-1}t'^{n'}+b't^{n-1}t'^{n'-1}+\ldots \\+&a''t^{n-2}t'^{n'}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right\}}},$

$n$ et $n'$ étant les plus grands accroissements de $x$ et de $x',$ dans l’équation proposée aux différences partielles ; $\mathrm {A,B,C,\ldots ,H}$ sont des fonctions arbitraires de $t\,;\ \mathrm {A} ',B',C',\ldots ,H'$ sont des fonctions arbitraires de $t'.$ On déterminera toutes ces fonctions au moyen des fonctions génératrices de

${\begin{array}{lllll}y_{0,x'},&y_{1,x'},&y_{2,x'},&\ldots \ldots ,&y_{n-1,x'},\\y_{x,0},&y_{x,1},&y_{x,2},&\ldots \ldots ,&y_{x,n'-1},\\\end{array}}$

Un des principaux avantages de cette manière d’intégrer les équations aux différences partielles consiste en ce que, l’analyse algébrique fournissant divers moyens pour développer les fonctions, on peut choisir celui qui convient le mieux à la question proposée. La solution