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Maintenant la probabilité que la somme des erreurs des $s$ observations sera comprise dans les limites $\pm l$ est, comme il est facile de s’en assurer par les raisonnements précédents,

${\frac {2}{\pi }}\iint d\varpi dl\cos l\varpi \left\{{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{n}}\right)+2\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)\cos \varpi &+2\varphi \left({\frac {2}{n}}\right)\cos 2\varpi \\+\ldots &+2\varphi \left({\frac {n}{n}}\right)\cos n\varpi \end{aligned}}\right\},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi \,;$ cette probabilité est donc

$(u)\qquad \qquad 2{\frac {(nk)^{s}}{\pi }}\iint d\varpi dl\cos l\varpi \left(1-{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}-\ldots \right)^{s}.$

Supposons

$\left(1-{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}-\ldots \right)^{s}=c^{-t^{2}}\,;$

en prenant les logarithmes hyperboliques, on aura, à très peu près, lorsque $s$ est un grand nombre,

$s{\frac {k''}{k}}n^{2}\varpi ^{2}=t^{2},$

ce qui donne

$\varpi ={\frac {t}{n}}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}.$

Si l’on observe ensuite que, $nk$ ou $2\int dx\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)$ exprimant la probabilité que l’erreur d’une observation est comprise dans les limites $\pm n,$ cette quantité doit être égale à l’unité, la fonction $(u)$ deviendra

${\frac {2}{n\pi }}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\iint dldtc^{-t^{2}}\cos \left({\frac {lt}{n}}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\right),$

l’intégrale relative à $t$ devant être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t=\pi n{\sqrt {\frac {k''s}{k}}},$ ou jusqu’à $t=\infty ,\ n$ étant supposé infini. Or on a, par le n^o 25 du Livre I^er,

$\int dt\cos \left({\frac {lt}{n}}{\sqrt {\frac {k}{k''s}}}\right)c^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}c^{-{\frac {l^{2}}{4n^{2}}}{\frac {k}{k''s}}},$